Номер 1463, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Показатель преломления флинта $n = \sqrt{3}$

Угол падения луча $\alpha = 45^\circ$

Смещение луча $l = 2.0$ см

$l = 2.0 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Толщину пластинки $d$.

Решение:

Когда луч света падает из воздуха (показатель преломления $n_1 \approx 1$) на поверхность пластинки с показателем преломления $n$ под углом $\alpha$, происходит преломление света. Связь между углом падения $\alpha$ и углом преломления $\beta$ описывается законом Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n \sin \beta$

Так как луч падает из воздуха, $n_1 = 1$, и закон преломления принимает вид:

$\sin \alpha = n \sin \beta$

Из этого соотношения мы можем найти синус угла преломления:

$\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} = \frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

При прохождении через плоскопараллельную пластинку луч выходит из нее под тем же углом, под которым вошел, но смещается параллельно своему первоначальному направлению. Величина этого смещения $l$ связана с толщиной пластинки $d$, углом падения $\alpha$ и углом преломления $\beta$ следующей формулой, которую можно вывести из геометрических соображений:

$l = d \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$

Выразим из этой формулы искомую толщину пластинки $d$:

$d = \frac{l \cos \beta}{\sin(\alpha - \beta)}$

Для проведения расчетов нам необходимо найти значения $\cos \beta$ и $\sin(\alpha - \beta)$.

Найдем $\cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{30}{36}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Далее, используя формулу синуса разности, найдем $\sin(\alpha - \beta)$:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Подставим известные значения $\sin \alpha = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а также вычисленные значения $\sin \beta$ и $\cos \beta$:

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{30}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{12}(\sqrt{30} - \sqrt{6}) = \frac{\sqrt{60} - \sqrt{12}}{12} = \frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{6}$

Теперь мы можем подставить все найденные выражения в формулу для толщины пластинки $d$:

$d = \frac{l \cdot \frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{6}} = \frac{l \sqrt{30}}{\sqrt{15} - \sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:

$d = \frac{l \sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{l \sqrt{10}}{\sqrt{5} - 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:

$d = \frac{l \sqrt{10} (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{l (\sqrt{50} + \sqrt{10})}{5 - 1} = \frac{l (5\sqrt{2} + \sqrt{10})}{4}$

Подставим числовое значение для смещения $l = 2.0$ см:

$d = \frac{2.0 \cdot (5\sqrt{2} + \sqrt{10})}{4} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ см

Вычислим приближенное значение толщины, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{10} \approx 3.162$:

$d \approx \frac{5 \cdot 1.414 + 3.162}{2} = \frac{7.07 + 3.162}{2} = \frac{10.232}{2} \approx 5.116$ см

С учетом точности исходных данных ($l=2.0$ см), округлим результат до сотых.

Ответ: $d = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} \text{ см} \approx 5.12$ см.