Номер 1468, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Реальная высота светящегося предмета над поверхностью воды, $h = 75$ см
Показатель преломления воздуха, $n_1 = n_{возд} \approx 1$
Показатель преломления воды, $n_2 = n_{воды} \approx 4/3 \approx 1,33$

Перевод в систему СИ:
$h = 75 \text{ см} = 0,75 \text{ м}$

Найти:

Видимая высота предмета над поверхностью воды, $H$.

Решение:

Явление, из-за которого пловцу кажется, что предмет находится на другой высоте, называется преломлением света. Лучи света, идущие от предмета в воздухе, преломляются на границе раздела сред "воздух-вода", изменяя свое направление.

Рассмотрим лучи, исходящие от предмета. Поскольку предмет находится прямо над головой пловца, для определения его видимого положения мы можем рассматривать лучи, падающие на поверхность воды под малыми углами к нормали (вертикали). Такой подход называется параксиальным приближением.

Закон преломления света (закон Снеллиуса) имеет вид:
$n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{\beta}$
где $n_1$ — показатель преломления среды, из которой идет свет (воздух), $n_2$ — показатель преломления среды, в которую свет переходит (вода), $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Для малых углов справедливы приближения $\sin{\alpha} \approx \tan{\alpha}$ и $\sin{\beta} \approx \tan{\beta}$. Тогда закон преломления можно записать как:
$n_1 \tan{\alpha} \approx n_2 \tan{\beta}$

Выразим тангенсы углов через реальную высоту $h$ и видимую высоту $H$. Пусть луч света падает на поверхность воды на малом расстоянии $x$ от точки, расположенной прямо под предметом.
Тангенс угла падения из геометрии треугольника в воздухе:
$\tan{\alpha} = \frac{x}{h}$
Видимое изображение предмета формируется на пересечении продолжения преломленного луча с вертикалью. Тангенс угла преломления из геометрии треугольника, который видит наблюдатель в воде:
$\tan{\beta} = \frac{x}{H}$

Подставим эти выражения в приближенную формулу закона преломления:
$n_1 \frac{x}{h} = n_2 \frac{x}{H}$
Сокращая $x$ в обеих частях уравнения, получаем соотношение между реальной и видимой высотой:
$\frac{n_1}{h} = \frac{n_2}{H}$
Отсюда выражаем искомую видимую высоту $H$:
$H = h \cdot \frac{n_2}{n_1}$

Подставим числовые значения. Примем показатель преломления воздуха $n_1 = 1$ и показатель преломления воды $n_2 = 4/3$.
$H = 75 \text{ см} \cdot \frac{4/3}{1} = 75 \cdot \frac{4}{3} = 25 \cdot 4 = 100 \text{ см}$

Переводя в метры:
$H = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$

Ответ: видимая высота предмета над поверхностью воды составляет $H = 100$ см (или 1 м).