Номер 1470, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Абсолютный показатель преломления пластинки $n = \sqrt{3}$

Расстояние между светлыми пятнами $d = 5,8 \text{ мм}$

Угол падения луча $\alpha = 60^\circ$

$d = 5,8 \text{ мм} = 5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Толщину пластинки $H$

Решение:

При падении луча света на стеклянную пластинку он преломляется. Из-за многократных отражений от внутренней поверхности пластинки на экран выходит ряд параллельных лучей, которые создают светлые пятна. Расстояние $d$ — это расстояние между соседними пятнами.

1. Найдем угол преломления $\beta$ по закону Снеллиуса:

$n_{1} \sin\alpha = n_{2} \sin\beta$

Здесь $n_{1} = 1$ (показатель преломления воздуха), $n_{2} = n = \sqrt{3}$ (показатель преломления пластинки).

$\sin\alpha = n \sin\beta$

Подставим известные значения:

$\sin 60^\circ = \sqrt{3} \sin\beta$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin\beta$

Отсюда находим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол преломления $\beta = 30^\circ$.

2. Рассмотрим геометрию хода луча внутри пластинки. Расстояние между двумя соседними светлыми пятнами на экране $d$ обусловлено смещением луча после двух внутренних отражений (от нижней грани, затем от верхней).

Смещение луча вдоль поверхности пластинки после одного прохода от одной грани до другой составляет $l = H \tan\beta$, где $H$ — толщина пластинки.

Путь луча, формирующего соседнее пятно, включает в себя проход от нижней грани к верхней и обратно к нижней. Таким образом, общее смещение луча вдоль пластинки между двумя соседними точками выхода составляет:

$L = 2l = 2H \tan\beta$

3. Это смещение $L$ происходит вдоль поверхности пластинки. Поскольку луч падает перпендикулярно экрану, а угол падения на пластинку равен $\alpha$, то угол наклона самой пластинки к плоскости экрана также равен $\alpha$. Расстояние $d$ на экране — это горизонтальная проекция смещения $L$.

$d = L \cos\alpha$

Подставим выражение для $L$:

$d = (2H \tan\beta) \cos\alpha$

4. Выразим из этой формулы толщину пластинки $H$:

$H = \frac{d}{2 \tan\beta \cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$H = \frac{5,8 \text{ мм}}{2 \cdot \tan 30^\circ \cdot \cos 60^\circ}$

$H = \frac{5,8}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5,8}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5,8 \sqrt{3} \text{ мм}$

Вычислим приближенное значение:

$H \approx 5,8 \cdot 1,732 \approx 10,0456 \text{ мм}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $H \approx 10 \text{ мм}$.

Ответ: $H = 5,8\sqrt{3} \text{ мм} \approx 10 \text{ мм}$.