Номер 1476, страница 272 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Минимальное расстояние до видимых в отражении частей дна, $l = 15$ м.

Рост водолаза, $H = 1,7$ м.

Показатель преломления воды, $n_{воды} \approx 1,333$ (или $4/3$).

Показатель преломления воздуха, $n_{воздуха} \approx 1$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Глубина, на которой находятся глаза водолаза, $h$ - ?

Решение:

Водолаз видит отражение дна от поверхности воды благодаря явлению полного внутреннего отражения. Свет от точки B на дне распространяется в воде, доходит до границы вода-воздух в точке P и, отражаясь, попадает в глаз водолаза E. Условие, что водолаз видит части дна, расположенные на расстоянии $l=15$ м и больше, означает, что для точки дна на расстоянии ровно $l=15$ м луч света падает на поверхность воды под критическим углом $\alpha_c$. Для точек на большем расстоянии угол падения будет больше критического, и свет также будет полностью отражаться.

Согласно закону Снеллиуса, критический угол полного внутреннего отражения определяется соотношением:

$n_{воды} \sin(\alpha_c) = n_{воздуха} \sin(90^\circ)$

Принимая $n_{воды} = n$ и $n_{воздуха} = 1$, получаем:

$\sin(\alpha_c) = \frac{1}{n}$

Для удобства геометрических построений воспользуемся методом мнимых изображений. Мнимое изображение глаза водолаза E' будет находиться на той же вертикали, что и глаз E, но выше поверхности воды на то же расстояние $h$. Тогда луч BPE можно рассматривать как прямую линию BE'.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный мнимым изображением глаза E', точкой на дне B и проекцией E' на горизонталь, проходящую через B. Угол падения $\alpha_c$ равен углу между лучом BE' и вертикалью.

Вертикальный катет этого треугольника равен сумме глубины дна $(h+H)$ и высоты мнимого изображения глаза $(h)$, то есть $h + (h+H) = 2h+H$.

Горизонтальный катет $x$ – это горизонтальное расстояние от водолаза до точки B на дне. Это расстояние можно найти из другого прямоугольного треугольника, образованного глазом водолаза E, точкой на дне B и проекцией E на дно. В этом треугольнике вертикальный катет равен росту водолаза $H$, горизонтальный – $x$, а гипотенуза – заданное расстояние $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = x^2 + H^2$

Отсюда находим горизонтальное расстояние:

$x = \sqrt{l^2 - H^2}$

Теперь мы можем выразить тангенс критического угла через геометрические параметры:

$\tan(\alpha_c) = \frac{x}{2h+H} = \frac{\sqrt{l^2 - H^2}}{2h+H}$

Также тангенс критического угла можно выразить через синус:

$\tan(\alpha_c) = \frac{\sin(\alpha_c)}{\cos(\alpha_c)} = \frac{\sin(\alpha_c)}{\sqrt{1-\sin^2(\alpha_c)}} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - (1/n)^2}} = \frac{1/n}{\sqrt{(n^2-1)/n^2}} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Приравнивая два выражения для $\tan(\alpha_c)$, получаем уравнение для нахождения $h$:

$\frac{\sqrt{l^2 - H^2}}{2h+H} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Выразим $h$:

$2h+H = \sqrt{l^2 - H^2} \cdot \sqrt{n^2-1}$

$2h = \sqrt{(l^2 - H^2)(n^2 - 1)} - H$

$h = \frac{\sqrt{(l^2 - H^2)(n^2 - 1)} - H}{2}$

Подставим числовые значения. Для показателя преломления воды возьмем $n = 4/3$.

$l^2 - H^2 = 15^2 - 1.7^2 = 225 - 2.89 = 222.11 \, \text{м}^2$

$n^2 - 1 = (4/3)^2 - 1 = 16/9 - 1 = 7/9$

$h = \frac{\sqrt{222.11 \cdot (7/9)} - 1.7}{2} = \frac{\sqrt{172.76} - 1.7}{2} \approx \frac{13.14 - 1.7}{2} = \frac{11.44}{2} = 5.72 \, \text{м}$

Ответ: Глубина, на которой находится водолаз (его глаза), составляет приблизительно $h \approx 5,72$ м.