Номер 1483, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Абсолютный показатель преломления материала световода $n = 1,41$.
Световод находится в воздухе, абсолютный показатель преломления которого $n_0 = 1$.

Найти:

Максимальный угол падения луча на торец световода к его оси $\phi_{max}$.

Решение:

Для того чтобы световой луч прошел по световоду без ослабления, на границе раздела «материал световода – воздух» должно выполняться условие полного внутреннего отражения. Это явление возможно, так как свет распространяется из оптически более плотной среды (световод с показателем преломления $n$) в оптически менее плотную среду (воздух с показателем преломления $n_0$).

Рассмотрим ход луча. Пусть луч падает на торец световода под углом $\phi$ к его оси (ось световода перпендикулярна его торцу). После преломления на торце луч распространяется внутри световода под углом $\theta$ к оси. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_0 \sin{\phi} = n \sin{\theta}$

Поскольку световод находится в воздухе ($n_0 = 1$), получаем:

$\sin{\phi} = n \sin{\theta}$ (1)

Далее луч достигает боковой стенки световода. Угол падения на боковую стенку $\alpha$ (угол между лучом и нормалью к стенке) связан с углом $\theta$ следующим геометрическим соотношением:

$\alpha = 90^\circ - \theta$

Условие полного внутреннего отражения заключается в том, что угол падения $\alpha$ должен быть не меньше предельного угла полного внутреннего отражения $\alpha_c$:

$\alpha \ge \alpha_c$

Предельный угол $\alpha_c$ определяется соотношением:

$\sin{\alpha_c} = \frac{n_0}{n} = \frac{1}{n}$

Таким образом, для полного внутреннего отражения необходимо выполнение условия:

$\sin{\alpha} \ge \sin{\alpha_c}$ (так как функция синуса возрастает для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$)

Используя связь между $\alpha$ и $\theta$, получаем:

$\sin{(90^\circ - \theta)} \ge \frac{1}{n}$

$\cos{\theta} \ge \frac{1}{n}$

Из уравнения (1) видно, что с увеличением угла падения $\phi$ увеличивается и угол преломления $\theta$. Функция косинуса является убывающей для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно, максимальному углу падения $\phi_{max}$ будет соответствовать максимальный угол $\theta_{max}$ и, соответственно, минимально допустимое значение $\cos{\theta_{max}}$. Это предельное значение равно $\frac{1}{n}$.

Таким образом, для нахождения $\phi_{max}$ используем равенство:

$\cos{\theta_{max}} = \frac{1}{n}$

Выразим $\sin{\theta_{max}}$ через $\cos{\theta_{max}}$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$:

$\sin{\theta_{max}} = \sqrt{1 - \cos^2{\theta_{max}}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

Подставим полученное выражение для $\sin{\theta_{max}}$ в уравнение (1), чтобы найти $\sin{\phi_{max}}$:

$\sin{\phi_{max}} = n \sin{\theta_{max}} = n \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} = \sqrt{n^2 - 1}$

Подставим данное в условии значение $n = 1,41$. Заметим, что $1,41$ является общепринятым приближением для $\sqrt{2}$. Если использовать это приближение, вычисления значительно упрощаются.

Примем $n \approx \sqrt{2}$:

$\sin{\phi_{max}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$

Отсюда находим максимальный угол:

$\phi_{max} = \arcsin(1) = 90^\circ$

Такой результат означает, что любой световой луч, падающий на торец световода (под любым углом от $0^\circ$ до $90^\circ$), будет захвачен и направлен вдоль него путем полных внутренних отражений.

Ответ: Максимальный угол $\phi_{max}$ к оси световода, под которым должен падать световой луч, чтобы пройти по световоду без ослабления, равен $90^\circ$.