Номер 1487, страница 274 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол падения на первую грань: $α_1 = α$

Угол выхода из второй грани: $α_2' = 2α$

Преломляющий угол призмы: $φ = \frac{α}{2}$

Показатель преломления окружающей среды (воздуха): $n_0 = 1$

Найти:

Угол отклонения луча: $γ$

Абсолютный показатель преломления стекла: $n$

Решение:

Определите угол γ отклонения луча призмой.

Угол отклонения луча $γ$ при прохождении через призму определяется по формуле:

$γ = α_1 + α_2' - φ$

где $α_1$ – угол падения на первую грань, $α_2'$ – угол выхода из второй грани, а $φ$ – преломляющий угол призмы.

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$γ = α + 2α - \frac{α}{2} = 3α - \frac{α}{2} = \frac{6α - α}{2} = \frac{5α}{2}$

Ответ: Угол отклонения луча призмой равен $γ = \frac{5α}{2}$.

Абсолютный показатель преломления стекла n.

Для нахождения показателя преломления стекла $n$ воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса) для каждой грани призмы и геометрическими соотношениями для углов.

Запишем закон Снеллиуса для первой грани (вход луча в призму):

$n_0 \sin(α_1) = n \sin(β_1)$

Так как $n_0 = 1$ и $α_1 = α$, получаем:

$\sin(α) = n \sin(β_1) \quad (1)$

где $β_1$ – угол преломления на первой грани.

Запишем закон Снеллиуса для второй грани (выход луча из призмы):

$n \sin(β_2) = n_0 \sin(α_2')$

Так как $n_0 = 1$ и $α_2' = 2α$, получаем:

$n \sin(β_2) = \sin(2α) \quad (2)$

где $β_2$ – угол падения на вторую грань изнутри призмы.

Углы $β_1$ и $β_2$ связаны с преломляющим углом призмы $φ$ следующим соотношением:

$β_1 + β_2 = φ$

Подставив $φ = \frac{α}{2}$, получим:

$β_1 + β_2 = \frac{α}{2} \quad (3)$

Теперь у нас есть система из трех уравнений с неизвестными $n, β_1, β_2$. Выразим $n$ из этой системы. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{n \sin(β_2)}{n \sin(β_1)} = \frac{\sin(2α)}{\sin(α)}$

$\frac{\sin(β_2)}{\sin(β_1)} = \frac{2\sin(α)\cos(α)}{\sin(α)} = 2\cos(α)$

Отсюда $\sin(β_2) = 2\cos(α)\sin(β_1)$.

Из уравнения (3) выразим $β_2 = \frac{α}{2} - β_1$ и подставим в полученное соотношение:

$\sin\left(\frac{α}{2} - β_1\right) = 2\cos(α)\sin(β_1)$

Раскроем синус разности:

$\sin\left(\frac{α}{2}\right)\cos(β_1) - \cos\left(\frac{α}{2}\right)\sin(β_1) = 2\cos(α)\sin(β_1)$

Сгруппируем слагаемые с $\sin(β_1)$:

$\sin\left(\frac{α}{2}\right)\cos(β_1) = \left(2\cos(α) + \cos\left(\frac{α}{2}\right)\right)\sin(β_1)$

Разделив обе части на $\cos(β_1)$, получим выражение для тангенса угла $β_1$:

$\tan(β_1) = \frac{\sin(α/2)}{2\cos(α) + \cos(α/2)}$

Зная $β_1$, можно найти показатель преломления $n$ из уравнения (1):

$n = \frac{\sin(α)}{\sin(β_1)}$

Таким образом, показатель преломления является функцией угла падения $α$.

Ответ: Абсолютный показатель преломления стекла $n = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta_1)}$, где угол $β_1$ определяется из соотношения $\tan(\beta_1) = \frac{\sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha) + \cos(\alpha/2)}$.