Номер 1491, страница 274 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Кювета в форме равнобедренной призмы.

Угол при вершине призмы (преломляющий угол): $\phi$.

Угол отклонения пучка света от первоначального направления: $\gamma$.

Условие: внутри жидкости световые лучи распространяются параллельно основанию призмы.

Показатель преломления окружающей среды (воздуха): $n_1 = 1$.

Найти:

Абсолютный показатель преломления жидкости $n$.

Решение:

Рассмотрим ход луча света через сечение призмы. Пусть луч падает на первую преломляющую грань под углом падения $\alpha_1$. После преломления он распространяется в жидкости под углом $\beta_1$ к нормали. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha_1 = n \sin\beta_1$

Поскольку $n_1=1$ (для воздуха), получаем:

$\sin\alpha_1 = n \sin\beta_1$

По условию, луч внутри жидкости движется параллельно основанию призмы. Для равнобедренной призмы это означает, что ход луча симметричен относительно биссектрисы преломляющего угла $\phi$. Симметрия означает, что угол падения на первую грань равен углу выхода из второй грани ($\alpha_1 = \beta_2$), а угол преломления на первой грани равен углу падения на вторую грань изнутри ($\beta_1 = \alpha_2$).

Для любой призмы справедливо соотношение между преломляющим углом и углами преломления на гранях:

$\phi = \beta_1 + \alpha_2$

В силу симметрии ($\beta_1 = \alpha_2$), получаем:

$\phi = 2\beta_1$

Отсюда находим угол преломления на первой грани:

$\beta_1 = \frac{\phi}{2}$

Общий угол отклонения луча $\gamma$ для призмы вычисляется по формуле:

$\gamma = (\alpha_1 - \beta_1) + (\beta_2 - \alpha_2) = \alpha_1 + \beta_2 - (\beta_1 + \alpha_2)$

Используя симметрию ($\alpha_1 = \beta_2$) и соотношение для преломляющего угла ($\phi = \beta_1 + \alpha_2$), получаем:

$\gamma = 2\alpha_1 - \phi$

Из этого выражения найдем угол падения $\alpha_1$:

$2\alpha_1 = \gamma + \phi$

$\alpha_1 = \frac{\gamma + \phi}{2}$

Теперь у нас есть выражения для угла падения $\alpha_1$ и угла преломления $\beta_1$ через заданные в условии углы $\phi$ и $\gamma$. Подставим эти выражения в закон Снеллиуса:

$\sin\left(\frac{\gamma + \phi}{2}\right) = n \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Выразим из полученного уравнения искомый показатель преломления $n$:

$n = \frac{\sin\left(\frac{\gamma + \phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}$

Ответ: $n = \frac{\sin\left(\frac{\gamma + \phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}$