Номер 1488, страница 274 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Преломляющий угол призмы $\phi = 60.00^\circ$

Угол падения луча $\alpha = 45.00^\circ$

Показатель преломления для первого крайнего луча $n_1 = 1.624$

Показатель преломления для второго крайнего луча $n_2 = 1.671$

Найти:

Угол между крайними лучами видимого спектра при выходе из призмы $\beta$.

Решение:

Когда белый свет проходит через призму, он разлагается в спектр, так как показатель преломления стекла $n$ зависит от длины волны света (явление дисперсии). Это приводит к тому, что лучи разных цветов выходят из призмы под разными углами. Искомый угол $\beta$ является углом дисперсии для крайних лучей видимого спектра.

Прохождение луча через призму описывается законом преломления Снеллиуса на двух гранях и геометрией призмы. Обозначим угол падения на первую грань как $\alpha$, угол преломления как $\gamma_1$, угол падения на вторую грань (изнутри) как $\alpha_2$ и угол выхода из призмы как $\gamma_2$.

1. Закон преломления на первой грани (воздух-призма):

$\sin\alpha = n \sin\gamma_1$

Отсюда угол преломления на первой грани:

$\gamma_1 = \arcsin\left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)$

2. Связь углов внутри призмы:

$\alpha_2 = \phi - \gamma_1$

3. Закон преломления на второй грани (призма-воздух):

$n \sin\alpha_2 = \sin\gamma_2$

Отсюда угол выхода из призмы:

$\gamma_2 = \arcsin(n \sin\alpha_2) = \arcsin(n \sin(\phi - \gamma_1))$

Для нахождения угла $\beta$ необходимо рассчитать углы выхода $\gamma_{2,1}$ и $\gamma_{2,2}$ для показателей преломления $n_1$ и $n_2$ соответственно, а затем найти их разность: $\beta = |\gamma_{2,2} - \gamma_{2,1}|$.

Расчет для луча с показателем преломления $n_1 = 1.624$:

Найдем угол преломления на первой грани $\gamma_{1,1}$:

$\gamma_{1,1} = \arcsin\left(\frac{\sin 45.00^\circ}{1.624}\right) \approx \arcsin\left(\frac{0.7071}{1.624}\right) \approx \arcsin(0.4354) \approx 25.81^\circ$

Найдем угол падения на вторую грань $\alpha_{2,1}$:

$\alpha_{2,1} = \phi - \gamma_{1,1} = 60.00^\circ - 25.81^\circ = 34.19^\circ$

Найдем угол выхода $\gamma_{2,1}$:

$\gamma_{2,1} = \arcsin(n_1 \sin\alpha_{2,1}) = \arcsin(1.624 \cdot \sin 34.19^\circ) \approx \arcsin(1.624 \cdot 0.5620) \approx \arcsin(0.9127) \approx 65.88^\circ$

Расчет для луча с показателем преломления $n_2 = 1.671$:

Найдем угол преломления на первой грани $\gamma_{1,2}$:

$\gamma_{1,2} = \arcsin\left(\frac{\sin 45.00^\circ}{1.671}\right) \approx \arcsin\left(\frac{0.7071}{1.671}\right) \approx \arcsin(0.4232) \approx 25.03^\circ$

Найдем угол падения на вторую грань $\alpha_{2,2}$:

$\alpha_{2,2} = \phi - \gamma_{1,2} = 60.00^\circ - 25.03^\circ = 34.97^\circ$

Найдем угол выхода $\gamma_{2,2}$:

$\gamma_{2,2} = \arcsin(n_2 \sin\alpha_{2,2}) = \arcsin(1.671 \cdot \sin 34.97^\circ) \approx \arcsin(1.671 \cdot 0.5731) \approx \arcsin(0.9577) \approx 73.29^\circ$

Найдем искомый угол $\beta$:

Угол между крайними лучами видимого спектра при выходе из призмы равен разности их углов выхода:

$\beta = \gamma_{2,2} - \gamma_{2,1} = 73.29^\circ - 65.88^\circ = 7.41^\circ$

Для большей точности можно провести вычисления без промежуточных округлений:

$\gamma_{2,1} \approx 65.861^\circ$

$\gamma_{2,2} \approx 73.270^\circ$

$\beta = 73.270^\circ - 65.861^\circ = 7.409^\circ$

Ответ: $\beta \approx 7.41^\circ$.