Номер 1482, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол преломления при переходе из среды 1 в среду 2: $β_1 = 45°$

Угол преломления при переходе из среды 1 в среду 3: $β_2 = 30°$

Угол падения $α$ из среды 1 в обоих случаях одинаков.

Найти:

Предельный угол полного отражения $α_{пр}$ для луча, падающего из среды 3 в среду 2.

Решение:

Обозначим показатели преломления первой, второй и третьей сред как $n_1$, $n_2$ и $n_3$ соответственно. Угол падения луча из первой среды обозначим как $α$.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. Для перехода луча из первой среды во вторую:

$n_1 \sin(α) = n_2 \sin(β_1)$

Подставим известное значение $β_1$:

$n_1 \sin(α) = n_2 \sin(45°) \quad (1)$

2. Для перехода луча из первой среды в третью:

$n_1 \sin(α) = n_3 \sin(β_2)$

Подставим известное значение $β_2$:

$n_1 \sin(α) = n_3 \sin(30°) \quad (2)$

Поскольку левые части уравнений (1) и (2) равны, мы можем приравнять их правые части:

$n_2 \sin(45°) = n_3 \sin(30°)$

Из этого соотношения найдем отношение показателей преломления второй и третьей сред:

$\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin(30°)}{\sin(45°)}$

Предельный угол полного внутреннего отражения $α_{пр}$ при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную определяется формулой:

$\sin(α_{пр}) = \frac{n_{менее}}{n_{более}}$

В нашем случае свет переходит из третьей среды во вторую. Чтобы произошло полное внутреннее отражение, третья среда должна быть оптически плотнее второй, то есть $n_3 > n_2$. Проверим это условие:

$\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin(30°)}{\sin(45°)} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{n_2}{n_3} < 1$, то $n_2 < n_3$. Условие выполняется, и полное внутреннее отражение при переходе из среды 3 в среду 2 возможно.

Формула для предельного угла в этом случае имеет вид:

$\sin(α_{пр}) = \frac{n_2}{n_3}$

Подставим найденное ранее отношение:

$\sin(α_{пр}) = \frac{\sin(30°)}{\sin(45°)} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем сам угол $α_{пр}$:

$α_{пр} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45°$

Ответ: предельный угол полного отражения для луча, падающего из третьей среды во вторую, равен $45°$.