Номер 1480, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Абсолютный показатель преломления воды для красных лучей, $n_1 = 1.328$.

Абсолютный показатель преломления воды для фиолетовых лучей, $n_2 = 1.335$.

Абсолютный показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$.

Найти:

Отношение радиусов $\frac{R_2}{R_1}$.

Решение:

Выход лучей света из воды в воздух возможен только в том случае, если угол падения луча на границу раздела вода-воздух меньше или равен предельному углу полного внутреннего отражения $α_{пр}$. При угле падения, равном предельному, угол преломления равен $90^\circ$.

Согласно закону Снеллиуса для предельного угла:

$n \sin(α_{пр}) = n_{возд} \sin(90^\circ)$

Так как показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$ и $\sin(90^\circ) = 1$, то формула для синуса предельного угла принимает вид:

$\sin(α_{пр}) = \frac{1}{n}$

Лучи света, выходящие из воды, образуют на поверхности световой круг. Радиус этого круга $R$ зависит от глубины источника $h$ и предельного угла $α_{пр}$. Из геометрии следует:

$\tan(α_{пр}) = \frac{R}{h}$

Отсюда, $R = h \tan(α_{пр})$.

Выразим тангенс предельного угла через его синус, используя тригонометрическое тождество $\sin^2(α) + \cos^2(α) = 1$:

$\tan(α_{пр}) = \frac{\sin(α_{пр})}{\cos(α_{пр})} = \frac{\sin(α_{пр})}{\sqrt{1 - \sin^2(α_{пр})}}$

Подставим выражение для синуса предельного угла $\sin(α_{пр}) = 1/n$:

$\tan(α_{пр}) = \frac{1/n}{\sqrt{1 - (1/n)^2}} = \frac{1/n}{\sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}}} = \frac{1/n}{\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Таким образом, радиус светового круга на поверхности воды равен:

$R = \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Теперь мы можем записать выражения для радиусов кругов для красных ($R_1$) и фиолетовых ($R_2$) лучей:

Для красных лучей: $R_1 = \frac{h}{\sqrt{n_1^2 - 1}}$

Для фиолетовых лучей: $R_2 = \frac{h}{\sqrt{n_2^2 - 1}}$

Найдем отношение радиусов $\frac{R_2}{R_1}$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{h / \sqrt{n_2^2 - 1}}{h / \sqrt{n_1^2 - 1}} = \frac{\sqrt{n_1^2 - 1}}{\sqrt{n_2^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n_1^2 - 1}{n_2^2 - 1}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{1.328^2 - 1}{1.335^2 - 1}} = \sqrt{\frac{1.763584 - 1}{1.782225 - 1}} = \sqrt{\frac{0.763584}{0.782225}} \approx \sqrt{0.97617} \approx 0.988$

Ответ: отношение радиусов кругов для фиолетовых и красных лучей составляет приблизительно 0,988.