Номер 1477, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 15$ см

$n_1 = n_{воды} \approx 1,33$

$n_2 = n_{воздуха} \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,15$ м

Найти:

$d$

Решение:

Чтобы свет от точечного источника, расположенного на дне, не выходил из воды, необходимо накрыть поверхность воды непрозрачной пластинкой. Минимальный размер этой пластинки определяется условием полного внутреннего отражения света на границе вода-воздух.

Свет, распространяющийся из оптически более плотной среды (воды) в менее плотную (воздух), претерпевает полное внутреннее отражение, если угол падения $ \alpha $ превышает или равен предельному углу $ \alpha_c $. Таким образом, свет выходит из воды только в пределах конуса, угол при вершине которого равен $ 2\alpha_c $. Чтобы заблокировать весь выходящий свет, пластинка должна накрывать основание этого конуса на поверхности воды.

Предельный угол полного внутреннего отражения $ \alpha_c $ находится из закона Снеллиуса:

$ n_1 \sin \alpha_c = n_2 \sin \beta $

При предельном угле угол преломления $ \beta = 90^\circ $, и $ \sin 90^\circ = 1 $.

$ n_1 \sin \alpha_c = n_2 \cdot 1 $

$ \sin \alpha_c = \frac{n_2}{n_1} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный глубиной сосуда $ h $ (катет), радиусом светового круга на поверхности $ R $ (второй катет) и лучом света, идущим от источника к краю этого круга (гипотенуза). Угол падения $ \alpha_c $ в данном случае — это угол между нормалью (вертикалью) и лучом света. Из геометрии этого треугольника следует:

$ \tan \alpha_c = \frac{R}{h} $

Отсюда минимальный радиус пластинки $ R = h \tan \alpha_c $. Диаметр $ d = 2R = 2h \tan \alpha_c $.

Выразим $ \tan \alpha_c $ через $ \sin \alpha_c $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha_c + \cos^2 \alpha_c = 1 $:

$ \tan \alpha_c = \frac{\sin \alpha_c}{\cos \alpha_c} = \frac{\sin \alpha_c}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha_c}} $

Подставим выражение для $ \sin \alpha_c = \frac{n_2}{n_1} $:

$ \tan \alpha_c = \frac{\frac{n_2}{n_1}}{\sqrt{1 - (\frac{n_2}{n_1})^2}} = \frac{\frac{n_2}{n_1}}{\sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2}}} = \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}} $

Теперь найдем искомый диаметр:

$ d = 2h \tan \alpha_c = \frac{2h n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}} $

Подставим численные значения:

$ d = \frac{2 \cdot 0,15 \text{ м} \cdot 1}{\sqrt{1,33^2 - 1^2}} = \frac{0,3}{\sqrt{1,7689 - 1}} = \frac{0,3}{\sqrt{0,7689}} \approx \frac{0,3}{0,877} \approx 0,342 \text{ м} $

$ 0,342 \text{ м} = 34,2 \text{ см} $

Ответ: $d \approx 34,2$ см.