Номер 1478, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус круга: $R = 1,2 \text{ м}$

Ускорение источника: $a = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$

Показатель преломления воды (справочное значение): $n \approx \frac{4}{3}$

Показатель преломления воздуха: $n_{воздуха} \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$a = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}^2} = 0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Промежуток времени $\Delta t$

Решение:

Свет начнет выходить из воды, когда лучи от источника смогут обогнуть непрозрачный круг, плавающий на поверхности. Это произойдет в тот момент, когда лучи, идущие от источника к самому краю круга, будут падать на границу раздела вода-воздух под предельным (критическим) углом полного внутреннего отражения, $\alpha_{crit}$.

Пусть источник находится на глубине $h$ под центром круга. Из геометрических соображений, тангенс угла падения $\alpha$ луча, достигающего края круга, равен отношению радиуса круга $R$ к глубине $h$:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{R}{h}$

Свет начнет выходить из-под воды, когда этот угол $\alpha$ станет равен критическому углу $\alpha_{crit}$.

Критический угол полного внутреннего отражения находится из закона Снеллиуса для границы вода-воздух:

$n \cdot \sin(\alpha_{crit}) = n_{воздуха} \cdot \sin(90^\circ)$

Принимая $n_{воздуха} = 1$ и $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$\sin(\alpha_{crit}) = \frac{1}{n}$

Чтобы найти тангенс критического угла, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\cos(\alpha_{crit}) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{crit})} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

Тогда тангенс равен:

$\text{tg}(\alpha_{crit}) = \frac{\sin(\alpha_{crit})}{\cos(\alpha_{crit})} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2 - 1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Приравнивая тангенсы, находим глубину $h$, на которой свет начнет выходить из воды:

$\frac{R}{h} = \text{tg}(\alpha_{crit}) = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

$h = R \sqrt{n^2 - 1}$

Источник света падает из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a$. Глубина $h$, на которую он опустится за время $\Delta t$, описывается формулой равноускоренного движения:

$h = \frac{a (\Delta t)^2}{2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для глубины $h$ и найдем время $\Delta t$:

$\frac{a (\Delta t)^2}{2} = R \sqrt{n^2 - 1}$

$(\Delta t)^2 = \frac{2R \sqrt{n^2 - 1}}{a}$

$\Delta t = \sqrt{\frac{2R \sqrt{n^2 - 1}}{a}}$

Подставим числовые значения, используя $n = 4/3$ для воды:

$\sqrt{n^2 - 1} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1} = \sqrt{\frac{16}{9} - 1} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Delta t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,2 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}}{0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{\frac{2,4 \cdot \sqrt{7}}{0,3}} \text{ с} = \sqrt{8\sqrt{7}} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, принимая $\sqrt{7} \approx 2,646$:

$\Delta t \approx \sqrt{8 \cdot 2,646} \text{ с} = \sqrt{21,168} \text{ с} \approx 4,6 \text{ с}$

Ответ: Промежуток времени, через который лучи света начнут выходить из воды, равен $\Delta t = \sqrt{8\sqrt{7}} \approx 4,6 \text{ с}$.