Номер 1479, страница 273 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Абсолютный показатель преломления жидкости, $n = 1,3$

Радиус отверстия в пластине, $R = 2,0 \text{ см} = 0,020 \text{ м}$

Толщина слоя жидкости, $h = 6,0 \text{ см} = 0,060 \text{ м}$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Диаметр светлого пятна на дне сосуда, $d$

Решение:

Светлое пятно на дне сосуда образуется светом, который прошел через круглое отверстие в непрозрачной пластине. Поскольку освещение рассеянное, на отверстие падают световые лучи под всевозможными углами, от $0^\circ$ до $90^\circ$ по отношению к нормали (перпендикуляру) к поверхности жидкости.

Размер светлого пятна на дне определяется лучами, которые преломляются под максимальным углом. Такие лучи падают на края отверстия под максимально возможным углом падения. Максимальный угол падения света из воздуха в жидкость составляет $\alpha_{max} = 90^\circ$ (так называемый скользящий луч).

Применим закон преломления света (закон Снеллиуса) на границе воздух-жидкость:
$n_{возд} \sin \alpha = n \sin \beta$
где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Для максимального угла падения $\alpha_{max} = 90^\circ$ найдем соответствующий максимальный угол преломления $\beta_{max}$:
$1 \cdot \sin(90^\circ) = n \cdot \sin \beta_{max}$
Так как $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:
$\sin \beta_{max} = \frac{1}{n}$

Рассмотрим луч, который падает на самый край отверстия (на расстоянии $R$ от центра) и преломляется под максимальным углом $\beta_{max}$. Этот луч достигнет дна на максимальном удалении от центра. Радиус всего светлого пятна на дне, $R_{пятна}$, будет равен сумме радиуса отверстия $R$ и дополнительного смещения $x$, на которое луч отклонился по горизонтали, пройдя слой жидкости толщиной $h$.

Из прямоугольного треугольника, образованного преломленным лучом, нормалью и дном сосуда, можно найти смещение $x$:
$\tan \beta_{max} = \frac{x}{h}$
Отсюда $x = h \cdot \tan \beta_{max}$.

Таким образом, радиус пятна на дне:$R_{пятна} = R + x = R + h \cdot \tan \beta_{max}$

Выразим $\tan \beta_{max}$ через известное значение $\sin \beta_{max}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, найдем косинус:
$\cos \beta_{max} = \sqrt{1 - \sin^2 \beta_{max}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$
Тогда тангенс равен:
$\tan \beta_{max} = \frac{\sin \beta_{max}}{\cos \beta_{max}} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2 - 1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим это выражение в формулу для радиуса пятна:
$R_{пятна} = R + \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Диаметр пятна $d$ равен удвоенному радиусу:
$d = 2 \cdot R_{пятна} = 2 \left( R + \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}} \right)$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:
$d = 2 \left( 2,0 \text{ см} + \frac{6,0 \text{ см}}{\sqrt{1,3^2 - 1}} \right) = 2 \left( 2,0 + \frac{6,0}{\sqrt{1,69 - 1}} \right) = 2 \left( 2,0 + \frac{6,0}{\sqrt{0,69}} \right)$
$d \approx 2 \left( 2,0 + \frac{6,0}{0,8307} \right) \approx 2 (2,0 + 7,223) \approx 2 \cdot 9,223 \approx 18,446 \text{ см}$

Округляя результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры), получаем:
$d \approx 18 \text{ см}$

Ответ: диаметр светлого пятна на дне сосуда составляет приблизительно $18$ см.