Номер 1474, страница 272 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Радиус шара: $R$

Показатель преломления окружающей среды: $n_1$

Показатель преломления материала шара: $n_2$

Условие: $n_2 < n_1$

Найти:

Радиус светового пучка $r$, который может проникнуть в шар.

Решение

Рассмотрим крайний луч падающего параллельного пучка света, который падает на шар на расстоянии $r$ от оптической оси, проходящей через центр шара. Угол падения $\alpha$ для этого луча определяется из геометрических соображений. Нормаль к поверхности шара в точке падения — это радиус $R$, проведенный в эту точку. Расстояние от центра шара до луча $r$ является катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является радиус шара $R$. Угол, противолежащий катету $r$, и есть угол падения $\alpha$. Таким образом, мы имеем соотношение:

$\sin(\alpha) = \frac{r}{R}$

Свет переходит из среды с большим показателем преломления $n_1$ в среду с меньшим показателем преломления $n_2$ ($n_1 > n_2$). В этом случае возможно явление полного внутреннего отражения, при котором свет не проникает во вторую среду, а полностью отражается от границы раздела. Это явление происходит, когда угол падения $\alpha$ превышает или равен предельному (критическому) углу полного отражения $\alpha_{пр}$.

Для того чтобы свет мог проникнуть в шар, угол падения луча должен быть меньше предельного угла:

$\alpha < \alpha_{пр}$

Предельный угол находится из закона преломления света (закона Снеллиуса):

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $\beta$ — угол преломления. Предельный угол падения $\alpha_{пр}$ соответствует углу преломления $\beta = 90^\circ$. Подставляя эти значения, получаем:

$n_1 \sin(\alpha_{пр}) = n_2 \sin(90^\circ) = n_2 \cdot 1$

Отсюда синус предельного угла равен:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_2}{n_1}$

Условие проникновения света в шар $\alpha < \alpha_{пр}$ для синусов (так как синус является возрастающей функцией на интервале от $0$ до $90^\circ$) принимает вид:

$\sin(\alpha) < \sin(\alpha_{пр})$

Подставляя выражения для $\sin(\alpha)$ и $\sin(\alpha_{пр})$, получаем:

$\frac{r}{R} < \frac{n_2}{n_1}$

Это неравенство определяет, при каких расстояниях $r$ от центра лучи могут проникать в шар. Максимальный радиус светового пучка, который может проникнуть в шар, соответствует предельному случаю, когда угол падения равен предельному углу. Таким образом, искомый радиус пучка $r$ равен:

$r = R \frac{n_2}{n_1}$

Ответ:

$r = R \frac{n_2}{n_1}$