Номер 1489, страница 274 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Призма со сечением в виде равностороннего треугольника

Углы призмы $A = B = C = 60^\circ$

Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$

Абсолютный показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$

Луч падает на грань перпендикулярно

Найти:

Угол $\gamma$ между падающим и вышедшим лучами.

Решение:

1. Прохождение луча через первую грань.

Пусть сечение призмы — треугольник ABC. Луч падает на грань AB перпендикулярно. Это означает, что угол падения $\alpha_1 = 0^\circ$. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_{возд} \cdot \sin \alpha_1 = n \cdot \sin \beta_1$

$1 \cdot \sin 0^\circ = 1,5 \cdot \sin \beta_1$

$0 = 1,5 \cdot \sin \beta_1 \Rightarrow \sin \beta_1 = 0 \Rightarrow \beta_1 = 0^\circ$

Угол преломления равен нулю, следовательно, луч входит в призму, не меняя своего направления, и распространяется перпендикулярно грани AB.

2. Падение луча на вторую грань.

Пусть луч, вошедший в призму в точке P на грани AB, попадает на грань AC в точке Q. Рассмотрим треугольник APQ. Так как сечение призмы — равносторонний треугольник, угол при вершине A равен $60^\circ$. Луч PQ перпендикулярен грани AB, поэтому угол $\angle APQ = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AQP = 180^\circ - \angle A - \angle APQ = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

Угол $\angle AQP$ — это угол между падающим на вторую грань лучом и самой гранью AC. Угол падения $\alpha_2$ — это угол между лучом и нормалью к грани AC. Следовательно:

$\alpha_2 = 90^\circ - \angle AQP = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

3. Проверка на полное внутреннее отражение.

Луч переходит из оптически более плотной среды (стекло) в менее плотную (воздух). Найдем предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пред}$:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{n_{возд}}{n} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3} \approx 0,667$

$\alpha_{пред} = \arcsin(\frac{2}{3}) \approx 41,8^\circ$

Угол падения луча на вторую грань $\alpha_2 = 60^\circ$. Так как $\alpha_2 > \alpha_{пред}$, луч не преломляется в воздух, а испытывает полное внутреннее отражение от грани AC.

4. Прохождение луча после отражения.

При отражении угол отражения равен углу падения. Отраженный луч QR также образует угол $60^\circ$ с нормалью к грани AC. Соответственно, угол между отраженным лучом и гранью AC равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник QRC, где R — точка падения луча на грань BC. Угол при вершине C равен $60^\circ$. Угол $\angle RQC$ — это угол между отраженным лучом QR и стороной QC (частью грани AC). Мы нашли, что он равен $30^\circ$. Тогда третий угол треугольника QRC будет:

$\angle QRC = 180^\circ - \angle C - \angle RQC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$

Это означает, что луч падает на третью грань BC перпендикулярно.

5. Выход луча из призмы.

Поскольку луч падает на грань BC перпендикулярно, угол падения $\alpha_3 = 0^\circ$. Как и при входе в призму, луч выходит из нее, не преломляясь.

6. Нахождение искомого угла $\gamma$.

Направление падающего на призму луча перпендикулярно грани AB. Направление вышедшего из призмы луча перпендикулярно грани BC. Таким образом, искомый угол $\gamma$ равен углу между гранями AB и BC.

В равностороннем треугольнике ABC угол между сторонами AB и BC — это угол при вершине B, который равен $60^\circ$.

$\gamma = \angle B = 60^\circ$

Ответ: искомый угол $\gamma$ равен $60^\circ$.