Номер 1464, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Пластинка из нескольких плоскопараллельных слоев.
Начальная среда - воздух, показатель преломления $n_0 \approx 1$.
Угол падения света из воздуха на первый слой - $\alpha$.
Показатель преломления k-го слоя - $n_k$.

Найти:

Угол преломления в k-м слое - $\beta_k$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса), который для границы раздела двух сред с показателями преломления $n_a$ и $n_b$ имеет вид:

$n_a \sin\theta_a = n_b \sin\theta_b$,

где $\theta_a$ - угол падения, а $\theta_b$ - угол преломления.

Рассмотрим последовательное преломление света на границах слоев.

1. На границе "воздух - слой 1":
Угол падения равен $\alpha$. Угол преломления в первом слое обозначим $\beta_1$. Показатель преломления воздуха $n_0 = 1$, показатель преломления первого слоя - $n_1$.

$n_0 \sin\alpha = n_1 \sin\beta_1$

Поскольку $n_0 = 1$, получаем:

$\sin\alpha = n_1 \sin\beta_1$ (1)

2. На границе "слой 1 - слой 2":
Так как слои плоскопараллельны, нормали к их поверхностям параллельны. Поэтому угол падения луча на второй слой равен углу преломления в первом слое, то есть $\beta_1$. Угол преломления во втором слое обозначим $\beta_2$.

$n_1 \sin\beta_1 = n_2 \sin\beta_2$ (2)

3. Обобщение для k-го слоя:
Продолжая эту логику для каждой последующей границы раздела, мы можем записать цепочку равенств:

$n_0 \sin\alpha = n_1 \sin\beta_1 = n_2 \sin\beta_2 = \dots = n_{k-1} \sin\beta_{k-1} = n_k \sin\beta_k$

Из этой цепочки следует, что угол преломления в любом k-м слое зависит только от начального угла падения $\alpha$ и показателей преломления начальной среды (воздуха) и этого k-го слоя, и не зависит от показателей преломления промежуточных слоев.

Таким образом, мы можем приравнять первое и последнее выражения в цепочке:

$n_0 \sin\alpha = n_k \sin\beta_k$

Подставляя $n_0 = 1$, получаем:

$\sin\alpha = n_k \sin\beta_k$

Выразим отсюда синус искомого угла преломления $\beta_k$:

$\sin\beta_k = \frac{\sin\alpha}{n_k}$

Следовательно, сам угол преломления $\beta_k$ равен:

$\beta_k = \arcsin\left(\frac{\sin\alpha}{n_k}\right)$

Ответ: Угол преломления $\beta_k$ в веществе k-го слоя определяется формулой $\beta_k = \arcsin\left(\frac{\sin\alpha}{n_k}\right)$.