Номер 1461, страница 270 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол падения пучка лучей: $ \alpha = 60^\circ $
Ширина пучка в воздухе: $ d_1 = 10 \text{ см} $
Показатель преломления воздуха: $ n_1 = 1 $
Показатель преломления воды: $ n_2 \approx 1.33 $

$ d_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} $

Найти:

Ширину пучка в воде $ d_2 $.

Решение:

Пусть пучок света падает на поверхность воды. Ширина пучка $ d_1 $ — это расстояние между крайними лучами пучка, измеренное перпендикулярно направлению их распространения. Когда пучок падает на поверхность под углом $ \alpha $ к нормали, он освещает на ней полосу, ширина которой вдоль поверхности равна $ L $. Из геометрических соображений можно связать ширину пучка $ d_1 $ и ширину полосы на поверхности $ L $:

$ d_1 = L \cos \alpha $

Отсюда ширина освещенной полосы на поверхности воды равна:

$ L = \frac{d_1}{\cos \alpha} $

После входа в воду лучи преломляются, и пучок распространяется под углом преломления $ \beta $ к нормали. Ширина пучка в воде $ d_2 $ будет связана с той же шириной полосы на поверхности $ L $ аналогичным соотношением:

$ d_2 = L \cos \beta $

Подставим выражение для $ L $ из первого соотношения во второе:

$ d_2 = \left(\frac{d_1}{\cos \alpha}\right) \cos \beta = d_1 \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} $

Для нахождения угла преломления $ \beta $ воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta $

Отсюда находим синус угла преломления:

$ \sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha $

Для нашей формулы требуется косинус угла преломления. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $:

$ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_1 \sin \alpha}{n_2}\right)^2} $

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления. Расчеты можно вести в сантиметрах, так как итоговая формула содержит отношение величин.

Вычислим синус угла преломления:

$ \sin \beta = \frac{1}{1.33} \cdot \sin 60^\circ \approx \frac{1}{1.33} \cdot 0.866 \approx 0.6511 $

Теперь вычислим косинус угла преломления:

$ \cos \beta = \sqrt{1 - 0.6511^2} = \sqrt{1 - 0.4239} = \sqrt{0.5761} \approx 0.7590 $

Наконец, находим ширину пучка в воде $ d_2 $:

$ d_2 = d_1 \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = 10 \text{ см} \cdot \frac{0.7590}{\cos 60^\circ} = 10 \text{ см} \cdot \frac{0.7590}{0.5} = 10 \text{ см} \cdot 1.518 = 15.18 \text{ см} $

Ответ: ширина пучка в воде составляет приблизительно $ 15.18 \text{ см} $.