Номер 1455, страница 270 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол преломления первого луча, $ \beta_1 = 36^\circ $

Угол преломления второго луча, $ \beta_2 = 20^\circ $

Падающие лучи взаимно перпендикулярны.

Среда падения - воздух, показатель преломления $ n_1 \approx 1 $.

Среда преломления - жидкость, показатель преломления $ n_2 = n $.

Все данные представлены в единицах, не требующих перевода в систему СИ.

Найти:

Показатель преломления жидкости $ n $.

Решение:

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для каждого из двух лучей, переходящих из воздуха ($ n_1 = 1 $) в жидкость ($ n_2 = n $):

$ n_1 \sin(\alpha_1) = n_2 \sin(\beta_1) \implies \sin(\alpha_1) = n \sin(\beta_1) $

$ n_1 \sin(\alpha_2) = n_2 \sin(\beta_2) \implies \sin(\alpha_2) = n \sin(\beta_2) $

Здесь $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $ - углы падения первого и второго лучей соответственно.

По условию задачи, падающие лучи взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними составляет $ 90^\circ $. Если лучи падают на поверхность раздела сред с разных сторон от перпендикуляра (нормали) в одной плоскости, то сумма их углов падения равна $ 90^\circ $.

$ \alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ $

Из этого соотношения можно выразить один угол через другой: $ \alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1 $.

Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - x) = \cos(x) $, получим:

$ \sin(\alpha_2) = \sin(90^\circ - \alpha_1) = \cos(\alpha_1) $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $ \sin(\alpha_1) = n \sin(\beta_1) $

2) $ \cos(\alpha_1) = n \sin(\beta_2) $

Чтобы исключить угол $ \alpha_1 $ и найти $ n $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha_1) + \cos^2(\alpha_1) = 1 $.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их:

$ \sin^2(\alpha_1) + \cos^2(\alpha_1) = (n \sin(\beta_1))^2 + (n \sin(\beta_2))^2 $

$ 1 = n^2 \sin^2(\beta_1) + n^2 \sin^2(\beta_2) $

Вынесем $ n^2 $ за скобки:

$ 1 = n^2 (\sin^2(\beta_1) + \sin^2(\beta_2)) $

Отсюда выразим искомую величину $ n $:

$ n^2 = \frac{1}{\sin^2(\beta_1) + \sin^2(\beta_2)} $

$ n = \frac{1}{\sqrt{\sin^2(\beta_1) + \sin^2(\beta_2)}} $

Подставим числовые значения углов $ \beta_1 = 36^\circ $ и $ \beta_2 = 20^\circ $ в полученную формулу:

$ n = \frac{1}{\sqrt{\sin^2(36^\circ) + \sin^2(20^\circ)}} $

Выполним вычисления:

$ \sin(36^\circ) \approx 0.5878 $

$ \sin(20^\circ) \approx 0.3420 $

$ n = \frac{1}{\sqrt{(0.5878)^2 + (0.3420)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.3455 + 0.1170}} = \frac{1}{\sqrt{0.4625}} \approx \frac{1}{0.6801} \approx 1.47 $

Ответ: показатель преломления жидкости $ n \approx 1.47 $.