Номер 1459, страница 270 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны монохроматического света в воздухе $λ_1 = 600$ нм

Длина волны монохроматического света в стекле $λ_2 = 420$ нм

Угол между отраженным и преломленным лучами $α = 90.0°$

Показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$

Перевод в СИ:

$λ_1 = 600 \times 10^{-9}$ м

$λ_2 = 420 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Угол падения света $i$ - ?

Решение:

Показатель преломления среды связан с длиной волны света в этой среде. При переходе света из одной среды в другую его частота $f$ остается неизменной. Показатель преломления стекла $n_2$ относительно воздуха ($n_1 \approx 1$) можно выразить как:

$n_2 = \frac{n_2}{n_1} = \frac{c/v_2}{c/v_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{f \cdot λ_1}{f \cdot λ_2} = \frac{λ_1}{λ_2}$

где $v_1$ и $v_2$ – скорости света в воздухе и стекле соответственно.

Обозначим угол падения света как $i$, угол отражения как $i'$, а угол преломления как $r$. Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения: $i = i'$.

По условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу, то есть угол между ними $α = 90.0°$. Из геометрического расположения лучей и нормали к поверхности следует, что:

$i' + r = 90.0°$

Учитывая, что $i = i'$, получаем:

$i + r = 90.0°$

Отсюда можно выразить угол преломления через угол падения:

$r = 90.0° - i$

Теперь применим закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n_1 \sin i = n_2 \sin r$

Подставим в это уравнение известные нам соотношения ($n_1 \approx 1$, $n_2 = λ_1/λ_2$, $r = 90.0° - i$):

$1 \cdot \sin i = \frac{λ_1}{λ_2} \sin(90.0° - i)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90° - i) = \cos i$, уравнение принимает вид:

$\sin i = \frac{λ_1}{λ_2} \cos i$

Разделим обе части уравнения на $\cos i$ (это возможно, так как угол падения не может быть равен $90°$, иначе преломления не будет):

$\frac{\sin i}{\cos i} = \tan i = \frac{λ_1}{λ_2}$

Данное условие соответствует закону Брюстера, а искомый угол является углом Брюстера.

Подставим числовые значения длин волн:

$\tan i = \frac{600 \text{ нм}}{420 \text{ нм}} = \frac{60}{42} = \frac{10}{7} \approx 1.4286$

Найдем угол падения $i$, взяв арктангенс от полученного значения:

$i = \arctan\left(\frac{10}{7}\right) \approx 55.0°$

Ответ: свет падает на плоскую поверхность стекла под углом $55.0°$.