Номер 1465, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Стеклянный сосуд с плоскопараллельным дном.

Раствор соли, показатель преломления которого $n(y)$ является функцией глубины $y$.

Среда над раствором и под дном сосуда - воздух с показателем преломления $n_{воздуха} \approx 1$.

Угол падения луча света на поверхность жидкости: $\alpha$.

Найти:

Угол выхода луча из сосуда: $\phi$.

Решение:

Рассмотрим прохождение луча света через систему, состоящую из нескольких сред с параллельными границами раздела: воздух - раствор соли - стекло - воздух. Весь этот набор сред можно рассматривать как одну слоистую плоскопараллельную пластину.

1. На границе "воздух - раствор" луч света падает под углом $\alpha$ и преломляется. Пусть показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$, а показатель преломления раствора на поверхности равен $n_2(0)$. Угол преломления в растворе у поверхности будет $\beta_0$. По закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2(0) \sin\beta_0$

Поскольку $n_1 \approx 1$, то:

$\sin\alpha = n_2(0) \sin\beta_0$

2. Внутри раствора показатель преломления $n_2(y)$ непрерывно меняется с глубиной $y$. Такую среду можно представить как совокупность бесконечно тонких плоскопараллельных слоев. Для такой среды обобщенный закон Снеллиуса гласит, что произведение показателя преломления на синус угла к нормали остается постоянным вдоль всей траектории луча:

$n_2(y) \sin\beta(y) = \text{const}$

Следовательно, для луча, падающего на дно на глубине $H$ под углом $\beta_H$, где показатель преломления равен $n_2(H)$, справедливо:

$n_2(0) \sin\beta_0 = n_2(H) \sin\beta_H$

Объединяя с предыдущим шагом, получаем:

$\sin\alpha = n_2(H) \sin\beta_H$

3. На границе "раствор - стеклянное дно" луч падает под углом $\beta_H$. Пусть показатель преломления стекла $n_3$. Угол преломления в стекле обозначим $\gamma$. По закону Снеллиуса:

$n_2(H) \sin\beta_H = n_3 \sin\gamma$

Отсюда следует:

$\sin\alpha = n_3 \sin\gamma$

4. На границе "стеклянное дно - воздух" луч выходит из сосуда. Так как дно плоскопараллельное, луч падает на эту границу под тем же углом $\gamma$. Угол выхода в воздух (показатель преломления $n_4 \approx 1$) равен $\phi$. По закону Снеллиуса:

$n_3 \sin\gamma = n_4 \sin\phi$

Учитывая, что $n_4 \approx 1$ и $\sin\alpha = n_3 \sin\gamma$, получаем:

$\sin\alpha = \sin\phi$

Так как углы падения и преломления находятся в диапазоне от 0 до 90 градусов, из равенства синусов следует равенство самих углов:

$\phi = \alpha$

Это означает, что луч света выйдет из сосуда под тем же углом, под которым он на него упал. Наличие слоя с переменным показателем преломления (раствора) и плоскопараллельного дна не меняет направления выходящего луча по сравнению с входящим, а лишь смещает его параллельно самому себе.

Ответ: луч выйдет из раствора под углом $\phi = \alpha$.