Номер 1448, страница 269 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние от светящейся точки до зеркала, $d = 0,75$ м
Расстояние от точки до главной оптической оси, $l = 5,0$ см
Расстояние от изображения до главной оптической оси, $L = 0,20$ м

Перевод в систему СИ:
$l = 5,0 \text{ см} = 0,05$ м

Найти:

Радиус кривизны зеркала, $R$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой сферического зеркала и формулой линейного увеличения.

Формула сферического зеркала: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ - расстояние от предмета до зеркала, $f$ - расстояние от изображения до зеркала, а $F$ - фокусное расстояние зеркала.

Фокусное расстояние $F$ связано с радиусом кривизны $R$ соотношением $F = \frac{R}{2}$. Для вогнутого зеркала фокусное расстояние и радиус кривизны считаются положительными.

Линейное увеличение $\Gamma$ равно отношению высоты изображения $h_{изобр}$ к высоте предмета $h_{пред}$ и также выражается через расстояния $f$ и $d$: $\Gamma = \frac{h_{изобр}}{h_{пред}} = -\frac{f}{d}$.

В нашей задаче высота предмета $h_{пред} = l$, а модуль высоты изображения $|h_{изобр}| = L$.

а) действительное

Действительное изображение, создаваемое одним вогнутым зеркалом, является перевернутым. Это означает, что если предмет находится над оптической осью ($h_{пред} = l > 0$), то его изображение будет под осью ($h_{изобр} = -L$).

Тогда линейное увеличение равно: $\Gamma = \frac{-L}{l} = \frac{-0,20 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = -4$.

Теперь найдем расстояние от изображения до зеркала $f$ из формулы увеличения:

$\Gamma = -\frac{f}{d} \implies -4 = -\frac{f}{0,75 \text{ м}} \implies f = 4 \cdot 0,75 \text{ м} = 3,0$ м.

Так как $f > 0$, изображение действительно является действительным (находится перед зеркалом).

Подставим значения $d$ и $f$ в формулу зеркала, чтобы найти фокусное расстояние $F$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{0,75} + \frac{1}{3,0} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ м$^{-1}$.

Отсюда фокусное расстояние: $F = \frac{3}{5} \text{ м} = 0,6$ м.

Радиус кривизны зеркала равен: $R = 2F = 2 \cdot 0,6 \text{ м} = 1,2$ м.

Ответ: $R = 1,2$ м.

б) мнимое

Мнимое изображение, создаваемое вогнутым зеркалом, является прямым. Это означает, что изображение находится по ту же сторону от оптической оси, что и предмет ($h_{изобр} = L$, если $h_{пред} = l$).

Тогда линейное увеличение равно: $\Gamma = \frac{L}{l} = \frac{0,20 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = 4$.

Найдем расстояние от изображения до зеркала $f$:

$\Gamma = -\frac{f}{d} \implies 4 = -\frac{f}{0,75 \text{ м}} \implies f = -4 \cdot 0,75 \text{ м} = -3,0$ м.

Так как $f < 0$, изображение действительно является мнимым (находится за зеркалом).

Подставим значения $d$ и $f$ в формулу зеркала:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{0,75} + \frac{1}{-3,0} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ м$^{-1}$.

Отсюда фокусное расстояние: $F = 1$ м.

Радиус кривизны зеркала равен: $R = 2F = 2 \cdot 1 \text{ м} = 2,0$ м.

Ответ: $R = 2,0$ м.