Номер 1447, страница 269 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Увеличение зеркала $ \Gamma_1 = 4.0 $.

Расстояние между предметом и его изображением $ l = 1.5 $ м.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Фокусное расстояние зеркала $ F $.

Решение:

Формула сферического зеркала связывает расстояние от предмета до зеркала $ d $, расстояние от изображения до зеркала $ f $ и фокусное расстояние зеркала $ F $:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Для вогнутого зеркала фокусное расстояние $ F $ является положительной величиной. По условию, изображение действительное, следовательно, расстояние $ f $ также положительно.

Линейное увеличение зеркала $ \Gamma_1 $ определяется как отношение расстояния от изображения до зеркала к расстоянию от предмета до зеркала:

$ \Gamma_1 = \frac{f}{d} $

Из условия задачи $ \Gamma_1 = 4.0 $, поэтому мы можем выразить $ f $ через $ d $:

$ \frac{f}{d} = 4.0 \implies f = 4d $

Поскольку изображение действительное и увеличенное ($ \Gamma_1 = 4.0 > 1 $), оно формируется дальше от зеркала, чем сам предмет ($ f > d $). Расстояние между предметом и его изображением $ l $ равно разности их расстояний до зеркала:

$ l = f - d $

Подставим в это уравнение выражение для $ f $, полученное из формулы увеличения:

$ l = 4d - d = 3d $

Теперь, зная значение $ l = 1.5 $ м, мы можем найти расстояние от предмета до зеркала $ d $:

$ d = \frac{l}{3} = \frac{1.5 \, \text{м}}{3} = 0.5 \, \text{м} $

Зная $ d $, найдем расстояние от изображения до зеркала $ f $:

$ f = 4d = 4 \cdot 0.5 \, \text{м} = 2.0 \, \text{м} $

Наконец, подставим найденные значения $ d $ и $ f $ в формулу зеркала, чтобы определить фокусное расстояние $ F $:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{0.5 \, \text{м}} + \frac{1}{2.0 \, \text{м}} $

Приводим дроби к общему знаменателю или вычисляем в десятичных дробях:

$ \frac{1}{F} = 2 \, \text{м}^{-1} + 0.5 \, \text{м}^{-1} = 2.5 \, \text{м}^{-1} $

Отсюда находим фокусное расстояние $ F $:

$ F = \frac{1}{2.5 \, \text{м}^{-1}} = 0.4 \, \text{м} $

Ответ: Фокусное расстояние зеркала равно 0.4 м.