Номер 1446, страница 268 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Увеличение в первом случае, $ \Gamma_1 = 5,0 $

Увеличение во втором случае, $ \Gamma_2 = 7,0 $

Перемещение зеркала, $ \Delta d = 2,0 $ см

$ \Delta d = 0,02 $ м (в системе СИ)

Найти:

Фокусное расстояние зеркала $ F $.

Решение:

Формула тонкой линзы (и сферического зеркала) имеет вид:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

где $ d $ — расстояние от предмета до зеркала, $ f $ — расстояние от изображения до зеркала, $ F $ — фокусное расстояние зеркала. Для вогнутого зеркала $ F > 0 $. Поскольку изображение действительное, то $ f > 0 $.

Линейное увеличение зеркала $ \Gamma $ определяется как:

$ \Gamma = \frac{f}{d} $

Рассмотрим два случая.

1. Начальное положение.

Пусть начальное расстояние от предмета до зеркала равно $ d_1 $, а расстояние от изображения до зеркала — $ f_1 $.

Увеличение в этом случае:

$ \Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = 5,0 $

Отсюда выразим $ f_1 $: $ f_1 = 5,0 \cdot d_1 $.

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{5d_1} = \frac{1}{F} $

$ \frac{5+1}{5d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{6}{5d_1} = \frac{1}{F} $ (1)

2. Конечное положение.

Зеркало переместили на расстояние $ \Delta d $ ближе к предмету. Новое расстояние от предмета до зеркала:

$ d_2 = d_1 - \Delta d $

Новое расстояние от изображения до зеркала обозначим $ f_2 $. Увеличение стало равно $ \Gamma_2 $:

$ \Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = 7,0 $

Отсюда $ f_2 = 7,0 \cdot d_2 $.

Подставим в формулу зеркала:

$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{7d_2} = \frac{1}{F} $

$ \frac{7+1}{7d_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{8}{7d_2} = \frac{1}{F} $ (2)

3. Решение системы уравнений.

Приравняем правые части выражений (1) и (2), так как фокусное расстояние зеркала не изменилось:

$ \frac{6}{5d_1} = \frac{8}{7d_2} $

Подставим $ d_2 = d_1 - \Delta d $:

$ \frac{6}{5d_1} = \frac{8}{7(d_1 - \Delta d)} $

Используем свойство пропорции:

$ 6 \cdot 7(d_1 - \Delta d) = 8 \cdot 5d_1 $

$ 42(d_1 - \Delta d) = 40d_1 $

$ 42d_1 - 42\Delta d = 40d_1 $

$ 2d_1 = 42\Delta d $

$ d_1 = 21\Delta d $

Теперь вычислим значение $ d_1 $, используя данное значение $ \Delta d = 2,0 $ см:

$ d_1 = 21 \cdot 2,0 \text{ см} = 42 \text{ см} $

Наконец, найдем фокусное расстояние $ F $ из уравнения (1):

$ \frac{1}{F} = \frac{6}{5d_1} \implies F = \frac{5d_1}{6} $

$ F = \frac{5 \cdot 42 \text{ см}}{6} = 5 \cdot 7 \text{ см} = 35 \text{ см} $

Ответ: Фокусное расстояние зеркала равно 35 см.