Номер 1421, страница 263 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$N = 200$

$l = 1.00$ мм

$D = 200$ см

$\lambda_1 = 400$ нм

$\lambda_2 = 780$ нм

Перевод в систему СИ:

$l = 1.00 \cdot 10^{-3}$ м

$D = 2.00$ м

$\lambda_1 = 400 \cdot 10^{-9}$ м = $4.0 \cdot 10^{-7}$ м

$\lambda_2 = 780 \cdot 10^{-9}$ м = $7.8 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

$\Delta x$

Решение:

1. Найдем период дифракционной решетки $d$. Период — это расстояние между двумя соседними штрихами. Он равен общей длине $l$, деленной на количество штрихов $N$.

$d = \frac{l}{N}$

Подставим числовые значения:

$d = \frac{1.00 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{200} = 5.00 \cdot 10^{-6}$ м

2. Условие дифракционных максимумов для света, падающего нормально на решетку, описывается формулой:

$d \sin\varphi = k \lambda$

где $k$ — порядок спектра (целое число: $1, 2, 3, \ldots$), $\varphi$ — угол, под которым наблюдается максимум, а $\lambda$ — длина волны света.

Поскольку в условии задачи не указан порядок спектра, будем определять ширину спектра первого порядка ($k=1$).

3. Положение максимума $x$ на экране, расположенном на расстоянии $D$ от решетки, связано с углом дифракции $\varphi$ соотношением:

$x = D \tan\varphi$

Для малых углов дифракции, что часто встречается в подобных задачах, можно использовать приближение $\tan\varphi \approx \sin\varphi$. Тогда положение максимума на экране можно найти как:

$x \approx D \sin\varphi$

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d}$ и подставим в выражение для $x$:

$x = D \frac{k \lambda}{d}$

4. Ширина дифракционного спектра $\Delta x$ представляет собой разность положений максимумов для наибольшей ($\lambda_2$) и наименьшей ($\lambda_1$) длин волн в заданном диапазоне для одного и того же порядка $k$:

$\Delta x = x_2 - x_1 = D \frac{k \lambda_2}{d} - D \frac{k \lambda_1}{d} = \frac{kD}{d}(\lambda_2 - \lambda_1)$

5. Подставим числовые значения в итоговую формулу для спектра первого порядка ($k=1$):

$\Delta x = \frac{1 \cdot 2.00 \text{ м}}{5.00 \cdot 10^{-6} \text{ м}} (7.8 \cdot 10^{-7} \text{ м} - 4.0 \cdot 10^{-7} \text{ м})$

$\Delta x = \frac{2.00}{5.00 \cdot 10^{-6}} \cdot (3.8 \cdot 10^{-7})$ м

$\Delta x = (0.4 \cdot 10^6) \cdot (3.8 \cdot 10^{-7})$ м $= 1.52 \cdot 10^{-1}$ м $= 0.152$ м

Переведем результат в сантиметры для наглядности: $0.152$ м $= 15.2$ см.

Ответ: ширина дифракционного спектра первого порядка равна $15.2$ см.