Номер 1499, страница 276 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Радиус диска $r = 1,5$ см

Фокусное расстояние собирающей линзы $F = 5,0$ см

Расстояние от диска до линзы $d = 40$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 0,015$ м

$F = 0,05$ м

$d = 0,4$ м

Найти:

Диаметр изображения диска $D$

Решение

Для нахождения положения изображения, создаваемого линзой, используем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для собирающей линзы $F > 0$. Так как изображение действительное (проецируется на экран), $f > 0$.

Выразим из формулы обратное расстояние до изображения $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$

Теперь найдем само расстояние $f$:

$f = \frac{1}{\frac{1}{F} - \frac{1}{d}} = \frac{F \cdot d}{d - F}$

Подставим числовые значения. Удобнее проводить расчеты в сантиметрах, так как единицы измерения сократятся в формуле для увеличения.

$f = \frac{5,0 \text{ см} \cdot 40 \text{ см}}{40 \text{ см} - 5,0 \text{ см}} = \frac{200 \text{ см}^2}{35 \text{ см}} = \frac{40}{7}$ см.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению размера изображения к размеру предмета. В данном случае — отношению диаметра изображения $D$ к диаметру самого диска $D_o$.

$\Gamma = \frac{D}{D_o}$

Диаметр диска $D_o$ равен удвоенному радиусу:

$D_o = 2r = 2 \cdot 1,5 \text{ см} = 3,0$ см.

Также линейное увеличение можно выразить через отношение расстояния от линзы до изображения и от предмета до линзы:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Приравняв оба выражения для увеличения, получим:

$\frac{D}{D_o} = \frac{f}{d}$

Отсюда выразим искомый диаметр изображения $D$:

$D = D_o \cdot \frac{f}{d}$

Подставим известные и вычисленные значения:

$D = 3,0 \text{ см} \cdot \frac{\frac{40}{7} \text{ см}}{40 \text{ см}} = 3,0 \text{ см} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ см.

Вычислим числовое значение:

$D \approx 0,42857...$ см.

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округлим результат:

$D \approx 0,43$ см.

Ответ: Диаметр изображения диска на экране $D \approx 0,43$ см.