Номер 1505, страница 277 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние между источником и ближайшим к нему фокусом: $l$

Расстояние между источником и его изображением: $L$

Условие: $l > |F|$

Найти:

Фокусное расстояние $F$ линз.

Решение:

Обозначим расстояние от источника до линзы как $d$, а расстояние от изображения до линзы как $f$. Формула тонкой линзы в общем виде записывается как $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где для рассеивающей линзы $F < 0$ и для мнимого изображения $f < 0$.

Для собирающей линзы $F > 0$. Фокусы линзы расположены на расстоянии $F$ по обе стороны от нее. Пусть источник находится на расстоянии $d$ от линзы. Тогда расстояние от источника до фокусов равно $|d-F|$ и $d+F$. Ближайшим будет фокус, расстояние до которого $|d-F|$. Таким образом, $l = |d-F|$.

В условии задачи дано, что $l > F$, то есть $|d-F| > F$. Раскрывая модуль, получаем два варианта: либо $d-F > F$, что приводит к $d > 2F$; либо $-(d-F) > F$ (то есть $F-d > F$), что приводит к $-d > 0$, а это невозможно, так как $d$ - это расстояние. Следовательно, источник находится на расстоянии $d > 2F$ от линзы. В этом случае $l = d-F$, откуда $d = l+F$.

Если $d > F$, то собирающая линза даёт действительное изображение. Изображение находится по другую сторону от линзы. Формула линзы имеет вид $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$. Расстояние от изображения до линзы $f$ будет положительным.

Расстояние между источником и его изображением $L$ равно сумме расстояний от них до линзы: $L = d+f$.

Выразим $f$ из формулы линзы: $f = \frac{dF}{d-F}$.

Подставим сюда $d=l+F$: $f = \frac{(l+F)F}{(l+F)-F} = \frac{(l+F)F}{l}$.

Теперь подставим выражения для $d$ и $f$ в формулу для $L$:

$L = d+f = (l+F) + \frac{(l+F)F}{l} = (l+F)\left(1 + \frac{F}{l}\right) = \frac{(l+F)^2}{l}$.

Отсюда выразим фокусное расстояние $F$:

$lL = (l+F)^2$

$\sqrt{lL} = l+F$ (так как $l, F$ - положительные величины)

$F = \sqrt{lL} - l$.

Ответ: $F = \sqrt{lL} - l$.

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно, $F < 0$. Будем использовать его модуль $F' = -F > 0$. Формула линзы принимает вид $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F'}$.

Источник находится на расстоянии $d$ от линзы. Расстояние до ближайшего фокуса (расположенного со стороны источника) равно $l = |d-F'|$.

По условию $l > |F|$, то есть $l > F'$. Это означает $|d-F'| > F'$. Аналогично случаю с собирающей линзой, это неравенство выполняется только при $d > 2F'$, и тогда $l = d-F'$. Отсюда $d = l+F'$.

Рассеивающая линза всегда дает мнимое изображение, которое находится с той же стороны от линзы, что и источник. Расстояние до изображения $f$ будет отрицательным. Обозначим расстояние от линзы до изображения как $f' = -f > 0$. Формула линзы: $\frac{1}{d} - \frac{1}{f'} = -\frac{1}{F'}$.

Расстояние между источником и его мнимым изображением $L$ равно $L = d - f'$, так как изображение находится ближе к линзе, чем источник ($f'<d$).

Выразим $f'$ из формулы линзы: $\frac{1}{f'} = \frac{1}{d} + \frac{1}{F'} = \frac{d+F'}{dF'}$, откуда $f' = \frac{dF'}{d+F'}$.

Подставим $d = l+F'$: $f' = \frac{(l+F')F'}{(l+F')+F'} = \frac{(l+F')F'}{l+2F'}$.

Теперь подставим выражения для $d$ и $f'$ в формулу для $L$:

$L = d-f' = (l+F') - \frac{(l+F')F'}{l+2F'} = (l+F')\left(1 - \frac{F'}{l+2F'}\right) = (l+F')\frac{l+2F'-F'}{l+2F'} = \frac{(l+F')^2}{l+2F'}$.

Получили уравнение для нахождения $F'$:

$L(l+2F') = (l+F')^2$

$Ll + 2LF' = l^2 + 2lF' + (F')^2$

$(F')^2 + 2(l-L)F' + l(l-L) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $F'$. Решим его:

$F' = \frac{-2(l-L) \pm \sqrt{4(l-L)^2 - 4l(l-L)}}{2} = (L-l) \pm \sqrt{(L-l)^2 - l(l-L)} = (L-l) \pm \sqrt{L(L-l)}$.

Из соотношения $L-l = \frac{(F')^2}{l+2F'} > 0$ следует, что $L > l$. Поэтому выражение под корнем положительно. Сравним $(L-l)$ и $\sqrt{L(L-l)}$. Так как $(L-l)^2 = L(L-l) - l(L-l) < L(L-l)$, то $L-l < \sqrt{L(L-l)}$. Поэтому, чтобы $F'$ было положительным, нужно выбрать знак плюс:

$F' = (L-l) + \sqrt{L(L-l)}$.

Так как $F = -F'$, то фокусное расстояние рассеивающей линзы:

$F = -((L-l) + \sqrt{L(L-l)}) = l-L - \sqrt{L(L-l)}$.

Ответ: $F = l-L - \sqrt{L(L-l)}$.