Номер 1511, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Расстояние между двумя точечными источниками света $l = 32$ см = $0.32$ м

Фокусное расстояние собирающей линзы $F = 12$ см = $0.12$ м

Найти:

$d_1, d_2$ - ?

Решение

Обозначим расстояния от линзы до первого и второго источников света как $d_1$ и $d_2$ соответственно. Поскольку линза находится между источниками, сумма этих расстояний равна общему расстоянию между источниками:

$d_1 + d_2 = l$

Для нахождения положения изображений воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d$ — расстояние от объекта до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы. Для собирающей линзы $F > 0$. Расстояние $f$ считается положительным для действительного изображения (которое находится по другую сторону линзы от объекта) и отрицательным для мнимого (которое находится с той же стороны, что и объект).

Расположим линзу в начале координат ($x=0$) на оптической оси. Пусть первый источник $S_1$ находится в точке с координатой $x_1 = -d_1$, а второй источник $S_2$ — в точке с координатой $x_2 = +d_2$.

Для первого источника $S_1$, расположенного на расстоянии $d_1$ слева от линзы, расстояние до его изображения $f_1$ определяется из уравнения:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Изображение $I_1$ будет находиться в точке с координатой $x_{I1} = f_1$.

Для второго источника $S_2$, расположенного на расстоянии $d_2$ справа от линзы, лучи света идут справа налево. Его изображение $I_2$ будет формироваться симметрично изображению от источника, расположенного слева. Расстояние до изображения $f_2$ для второго источника найдем из аналогичного уравнения:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

Поскольку объект $S_2$ находится справа, его действительное изображение будет слева от линзы, а мнимое — справа. Таким образом, изображение $I_2$ будет находиться в точке с координатой $x_{I2} = -f_2$.

По условию задачи, изображения обоих источников должны оказаться в одной точке, то есть $x_{I1} = x_{I2}$, что означает:

$f_1 = -f_2$

Выразим $f_1$ и $f_2$ из формулы линзы:

$f_1 = \frac{d_1 F}{d_1 - F}$

$f_2 = \frac{d_2 F}{d_2 - F}$

Подставим эти выражения в условие $f_1 = -f_2$:

$\frac{d_1 F}{d_1 - F} = - \frac{d_2 F}{d_2 - F}$

Поскольку $F \neq 0$, можно сократить на $F$:

$\frac{d_1}{d_1 - F} = - \frac{d_2}{d_2 - F}$

Выполним преобразования:

$d_1(d_2 - F) = -d_2(d_1 - F)$

$d_1 d_2 - d_1 F = -d_1 d_2 + d_2 F$

$2 d_1 d_2 = d_1 F + d_2 F$

$2 d_1 d_2 = F(d_1 + d_2)$

Так как $d_1 + d_2 = l$, подставим это в полученное уравнение:

$2 d_1 d_2 = F \cdot l$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $d_1$ и $d_2$:

1) $d_1 + d_2 = l$

2) $d_1 d_2 = \frac{Fl}{2}$

Согласно обратной теореме Виета, $d_1$ и $d_2$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (d_1 + d_2)x + d_1 d_2 = 0$. Подставим в него наши выражения:

$x^2 - lx + \frac{Fl}{2} = 0$

Подставим числовые значения в сантиметрах ($l = 32$, $F = 12$):

$x^2 - 32x + \frac{12 \cdot 32}{2} = 0$

$x^2 - 32x + 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{32 \pm 16}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Следовательно, искомые расстояния равны 8 см и 24 см. Это означает, что линзу нужно поместить на расстоянии 8 см от одного источника и 24 см от другого.

Ответ:

Линзу следует поместить на расстояниях $d_1 = 8$ см и $d_2 = 24$ см от источников (или наоборот).