Номер 1515, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота изображения в первом положении линзы: $H_1$

Высота изображения во втором положении линзы: $H_2$

Высота предмета: $h$

Найти:

$h$

Решение:

Пусть расстояние от предмета до линзы равно $d$, а расстояние от линзы до экрана (изображения) — $f$. Высота предмета равна $h$, а высота изображения — $H$.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Формула линейного увеличения линзы: $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$.

По условию задачи, расстояние между предметом и экраном $L$ постоянно. Следовательно, $L = d + f$.

Существует два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение. Обозначим параметры для первого положения индексами 1, а для второго — индексами 2.

Для первого положения:

$d_1 + f_1 = L$

Увеличение: $\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{f_1}{d_1}$

Для второго положения:

$d_2 + f_2 = L$

Увеличение: $\Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{f_2}{d_2}$

Подставим $f = L - d$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{L-d} = \frac{1}{F}$

Приводя к общему знаменателю, получаем квадратное уравнение относительно $d$:

$d^2 - Ld + LF = 0$

Это уравнение имеет два корня, $d_1$ и $d_2$, которые соответствуют двум возможным положениям линзы. Согласно теореме Виета, для корней этого уравнения справедливо:

$d_1 + d_2 = L$

Сравнивая это с $d_1 + f_1 = L$, мы видим, что $f_1 = d_2$.

Аналогично, из $d_2 + f_2 = L$ и $d_1 + d_2 = L$ следует, что $f_2 = d_1$.

Этот результат известен как принцип обратимости световых лучей: если поменять местами предмет и изображение, их размеры также поменяются местами, а взаимное расположение останется прежним. Таким образом, $d_1 = f_2$ и $f_1 = d_2$.

Теперь рассмотрим увеличения для двух положений:

$\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{f_1}{d_1}$

$\Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{f_2}{d_2} = \frac{d_1}{f_1}$

Из этих двух выражений видно, что $\Gamma_2 = \frac{1}{\Gamma_1}$.

Подставим выражения для увеличений через высоты:

$\frac{H_2}{h} = \frac{1}{H_1/h} = \frac{h}{H_1}$

Из этого соотношения получаем:

$h^2 = H_1 \cdot H_2$

Отсюда находим высоту предмета $h$:

$h = \sqrt{H_1 H_2}$

Ответ: $h = \sqrt{H_1 H_2}$