Номер 1522, страница 279 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы: $F$

Диаметр отверстия круговой диафрагмы: $D_{диаф}$

Диаметр пучка преломленных лучей в фокальной плоскости: $D_{пучка}$

Соотношение диаметров: $D_{пучка} = n \cdot D_{диаф}$

Найти:

Расстояние от источника света до линзы: $d$

Решение:

Точечный источник света S расположен на главной оптической оси на расстоянии $d$ от линзы. После прохождения через линзу лучи света образуют изображение S' на расстоянии $f$ от линзы. Эти величины связаны формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Отсюда можно выразить величину, обратную расстоянию до изображения:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$

Рассмотрим ход крайнего луча, который исходит из источника S и проходит через край диафрагмы. Пусть радиус отверстия диафрагмы равен $R_{диаф} = D_{диаф}/2$. Этот луч после преломления в линзе пересечет главную оптическую ось в точке изображения S'.

Для определения радиуса светового пучка в фокальной плоскости, $R_{пучка} = D_{пучка}/2$, воспользуемся методом подобных треугольников. Построим ход преломленного луча. Он проходит через точку на краю линзы (с высотой $R_{диаф}$ над главной оптической осью) и точку изображения S' (на расстоянии $f$ от линзы).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных преломленным лучом и главной оптической осью.

1. Большой треугольник с катетами $R_{диаф}$ (радиус линзы, через который прошел луч) и $|f|$ (расстояние от линзы до изображения).

2. Малый треугольник с катетами $R_{пучка}$ (радиус пучка в фокальной плоскости) и $|f - F|$ (расстояние от фокальной плоскости до плоскости изображения).

Эти треугольники подобны. Из их подобия следует соотношение:

$\frac{R_{пучка}}{|f - F|} = \frac{R_{диаф}}{|f|}$

Отсюда можно выразить отношение радиусов (которое равно отношению диаметров):

$\frac{R_{пучка}}{R_{диаф}} = \frac{|f - F|}{|f|} = |1 - \frac{F}{f}|$

По условию задачи, $D_{пучка} / D_{диаф} = n$, следовательно, $R_{пучка} / R_{диаф} = n$. Подставим это в полученное уравнение:

$n = |1 - \frac{F}{f}|$

Теперь используем выражение для $1/f$ из формулы тонкой линзы:

$n = |1 - F \cdot (\frac{1}{F} - \frac{1}{d})| = |1 - (1 - \frac{F}{d})| = |1 - 1 + \frac{F}{d}| = |\frac{F}{d}|$

Поскольку фокусное расстояние собирающей линзы $F > 0$ и расстояние до предмета $d > 0$, то модуль можно опустить:

$n = \frac{F}{d}$

Выразим искомое расстояние $d$:

$d = \frac{F}{n}$

Ответ: Источник света расположен на расстоянии $d = \frac{F}{n}$ от линзы.