Номер 1529, страница 280 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d_1 = 1,0$ м

$H_1 = 6,0$ см

$d_2 = 5,0$ м

$H_2 = 1,0$ см

Перевод в систему СИ:

$H_1 = 0,06$ м

$H_2 = 0,01$ м

Найти:

$F$

Решение:

Для решения задачи используем формулу тонкой линзы и формулу линейного увеличения. Высота предмета $h$ в обоих случаях одинакова.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения, $F$ – фокусное расстояние.

Формула линейного увеличения: $ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $, где $H$ – высота изображения, $h$ – высота предмета.

Запишем систему уравнений для двух случаев.

1) При расстоянии $d_1$ и высоте изображения $H_1$:

$ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} \quad (1) $

$ \frac{H_1}{h} = \frac{f_1}{d_1} \quad (2) $

2) При расстоянии $d_2$ и высоте изображения $H_2$:

$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \quad (3) $

$ \frac{H_2}{h} = \frac{f_2}{d_2} \quad (4) $

Из уравнений (2) и (4) выразим высоту предмета $h$:

$ h = \frac{H_1 d_1}{f_1} $ и $ h = \frac{H_2 d_2}{f_2} $.

Приравняем правые части выражений для $h$:

$ \frac{H_1 d_1}{f_1} = \frac{H_2 d_2}{f_2} $

Из формулы тонкой линзы (1) и (3) выразим расстояния до изображения $f_1$ и $f_2$:

$ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{d_1 - F}{F d_1} \implies f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} $

$ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - F}{F d_2} \implies f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F} $

Подставим эти выражения для $f_1$ и $f_2$ в равенство $ \frac{H_1 d_1}{f_1} = \frac{H_2 d_2}{f_2} $:

$ H_1 d_1 \cdot \frac{d_1 - F}{F d_1} = H_2 d_2 \cdot \frac{d_2 - F}{F d_2} $

Сократим $d_1$, $d_2$ и $F$ (при условии, что $F \neq 0$):

$ H_1 (d_1 - F) = H_2 (d_2 - F) $

Раскроем скобки и найдем $F$:

$ H_1 d_1 - H_1 F = H_2 d_2 - H_2 F $

$ H_2 F - H_1 F = H_2 d_2 - H_1 d_1 $

$ F(H_2 - H_1) = H_2 d_2 - H_1 d_1 $

Отсюда фокусное расстояние:

$ F = \frac{H_2 d_2 - H_1 d_1}{H_2 - H_1} = \frac{H_1 d_1 - H_2 d_2}{H_1 - H_2} $

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ F = \frac{0,06 \text{ м} \cdot 1,0 \text{ м} - 0,01 \text{ м} \cdot 5,0 \text{ м}}{0,06 \text{ м} - 0,01 \text{ м}} = \frac{0,06 \text{ м}^2 - 0,05 \text{ м}^2}{0,05 \text{ м}} = \frac{0,01 \text{ м}^2}{0,05 \text{ м}} = 0,2 \text{ м} $

Результат можно перевести в сантиметры: $F = 0,2 \text{ м} = 20 \text{ см}$.

Ответ: фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно $0,2$ м или $20$ см.