Номер 1535, страница 281 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальное увеличение лупы: $\Gamma_1 = 4$

Коэффициент уменьшения расстояния от лупы до предмета: $n = 1,5$

Найти:

Новое увеличение лупы $\Gamma_2$

Решение:

Лупа — это собирающая линза, используемая для получения увеличенного мнимого изображения. Изображение является прямым, поэтому увеличение $\Gamma$ положительно.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние $F$, расстояние до предмета $d$ и расстояние до изображения $f$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Для собирающей линзы $F > 0$. Лупа дает мнимое изображение, поэтому расстояние до изображения $f$ является отрицательной величиной ($f < 0$).

Линейное увеличение линзы определяется как $\Gamma = |\frac{f}{d}|$. Учитывая, что $f < 0$, можно записать $\Gamma = \frac{-f}{d}$, откуда получаем $f = -\Gamma d$.

Подставим это выражение для $f$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{-\Gamma d} = \frac{1}{d} - \frac{1}{\Gamma d} = \frac{\Gamma - 1}{\Gamma d}$

Это соотношение связывает постоянную для данной линзы величину — фокусное расстояние $F$ — с расстоянием до предмета $d$ и увеличением $\Gamma$.

Рассмотрим два случая из условия задачи.

1. Начальное положение:

Увеличение $\Gamma_1 = 4$, расстояние до предмета $d_1$.

$\frac{1}{F} = \frac{\Gamma_1 - 1}{\Gamma_1 d_1} = \frac{4 - 1}{4 d_1} = \frac{3}{4 d_1}$

2. Конечное положение:

Расстояние до предмета уменьшилось в $n = 1,5$ раза: $d_2 = \frac{d_1}{n} = \frac{d_1}{1,5}$.

Необходимо найти новое увеличение $\Gamma_2$.

$\frac{1}{F} = \frac{\Gamma_2 - 1}{\Gamma_2 d_2} = \frac{\Gamma_2 - 1}{\Gamma_2 (\frac{d_1}{1,5})} = \frac{1,5(\Gamma_2 - 1)}{\Gamma_2 d_1}$

Поскольку фокусное расстояние $F$ линзы не изменяется, мы можем приравнять выражения для $\frac{1}{F}$ из обоих случаев:

$\frac{3}{4 d_1} = \frac{1,5(\Gamma_2 - 1)}{\Gamma_2 d_1}$

Сократим $d_1$ в обеих частях уравнения:

$\frac{3}{4} = \frac{1,5(\Gamma_2 - 1)}{\Gamma_2}$

Решим полученное уравнение относительно $\Gamma_2$:

$3 \cdot \Gamma_2 = 4 \cdot 1,5 (\Gamma_2 - 1)$

$3 \Gamma_2 = 6 (\Gamma_2 - 1)$

$3 \Gamma_2 = 6 \Gamma_2 - 6$

$6 = 6 \Gamma_2 - 3 \Gamma_2$

$6 = 3 \Gamma_2$

$\Gamma_2 = \frac{6}{3} = 2$

Новое увеличение лупы равно 2. Так как начальное увеличение было 4, оно уменьшилось в $4 / 2 = 2$ раза.

Ответ: увеличение лупы уменьшится в 2 раза.