Номер 1530, страница 281 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина изображения маятника на пленке $l = 20$ мм

Время съемки $\Delta t = 1,0$ мин

Число полных колебаний $N = 24$

Фокусное расстояние объектива $F = 5,0$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$l = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,02 \text{ м}$

$\Delta t = 1,0 \cdot 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$

$F = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Расстояние, с которого велась съемка $d$.

Решение:

1. Сначала определим период колебаний математического маятника. Период $T$ — это время одного полного колебания. Он находится как отношение общего времени колебаний $\Delta t$ к числу колебаний $N$ за это время:

$T = \frac{\Delta t}{N}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{60 \text{ с}}{24} = 2,5 \text{ с}$

2. Зная период колебаний, мы можем найти действительную длину маятника $L$. Формула периода колебаний математического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Выразим из этой формулы длину маятника $L$, возведя обе части в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$

$L = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Подставим известные значения, принимая $g \approx 9,8$ м/с²:

$L = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (2,5 \text{ с})^2}{4\pi^2} = \frac{9,8 \cdot 6,25}{4\pi^2} \approx \frac{61,25}{39,48} \approx 1,55 \text{ м}$

3. Теперь, зная реальный размер объекта (длину маятника $L$) и размер его изображения на пленке $l$, а также фокусное расстояние объектива $F$, мы можем найти расстояние до объекта $d$. Для этого воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_{img}} = \frac{1}{F}$

где $d$ — расстояние от объекта до линзы, а $f_{img}$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение размера изображения $l$ к размеру объекта $L$ и как отношение расстояния до изображения $f_{img}$ к расстоянию до объекта $d$:

$\Gamma = \frac{l}{L} = \frac{f_{img}}{d}$

Из формулы увеличения выразим $f_{img}$:

$f_{img} = d \frac{l}{L}$

Подставим это выражение для $f_{img}$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{d \frac{l}{L}} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d} + \frac{L}{d \cdot l} = \frac{1}{F}$

$\frac{l+L}{d \cdot l} = \frac{1}{F}$

Выразим искомое расстояние $d$:

$d = F \frac{l+L}{l} = F \left(1 + \frac{L}{l}\right)$

Подставим числовые значения:

$d = 0,05 \text{ м} \cdot \left(1 + \frac{1,55 \text{ м}}{0,02 \text{ м}}\right) = 0,05 \cdot (1 + 77,5) = 0,05 \cdot 78,5 = 3,925 \text{ м}$

Учитывая, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $d \approx 3,9$ м.