Номер 1520, страница 279 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр начального пучка лучей, $d_1 = 5,0$ см.

Диаметр пятна на экране после рассеивающей линзы, $d_2 = 7,0$ см.

Фокусное расстояние собирающей линзы по модулю равно фокусному расстоянию рассеивающей линзы.

$d_1 = 5,0 \cdot 10^{-2}$ м
$d_2 = 7,0 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Диаметр $d$ светлого пятна, если рассеивающую линзу заменить собирающей.

Решение:

1. Рассмотрим случай с рассеивающей линзой. Пусть $L$ – расстояние от линзы до экрана, а $|F|$ – модуль фокусного расстояния линзы. Параллельный пучок лучей после прохождения через рассеивающую линзу расходится так, будто лучи выходят из ее переднего (мнимого) фокуса.

Для определения связи между параметрами воспользуемся методом подобных треугольников. Рассмотрим ход крайнего луча пучка, идущего на расстоянии $r_1 = d_1/2$ от главной оптической оси. После преломления его продолжение пройдет через передний фокус $F$. На экране на расстоянии $L$ от линзы этот луч окажется на расстоянии $r_2 = d_2/2$ от оси.

Из подобия треугольников, образованных ходом луча, можно записать:

$\frac{r_1}{|F|} = \frac{r_2}{|F| + L}$

Подставив радиусы, выраженные через диаметры ($r_1 = d_1/2$, $r_2 = d_2/2$), получим:

$\frac{d_1/2}{|F|} = \frac{d_2/2}{|F| + L}$

$\frac{d_1}{|F|} = \frac{d_2}{|F| + L} \implies \frac{d_2}{d_1} = \frac{|F| + L}{|F|} = 1 + \frac{L}{|F|}$

Из этого соотношения выразим отношение расстояния до экрана к фокусному расстоянию:

$\frac{L}{|F|} = \frac{d_2}{d_1} - 1 = \frac{d_2 - d_1}{d_1}$

2. Теперь рассмотрим случай с собирающей линзой, у которой фокусное расстояние по модулю такое же. Параллельный пучок лучей после прохождения через собирающую линзу сходится в ее заднем (действительном) фокусе. Экран находится на том же расстоянии $L$.

Снова используя подобие треугольников для хода крайнего луча, получаем:

$\frac{d/2}{|F| - L} = \frac{d_1/2}{|F|}$

Это соотношение справедливо, если экран расположен до фокуса ($L < |F|$).

$\frac{d}{d_1} = \frac{|F| - L}{|F|} = 1 - \frac{L}{|F|}$

3. Подставим выражение для $\frac{L}{|F|}$, найденное в первом пункте, в полученное уравнение:

$d = d_1 \left(1 - \frac{d_2 - d_1}{d_1}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$d = d_1 \cdot \frac{d_1 - (d_2 - d_1)}{d_1} = d_1 - d_2 + d_1$

$d = 2d_1 - d_2$

4. Произведем вычисления:

$d = 2 \cdot 5,0 \text{ см} - 7,0 \text{ см} = 10,0 \text{ см} - 7,0 \text{ см} = 3,0 \text{ см}$.

Результат получился положительным, что подтверждает наше предположение о том, что $L < |F|$.

Ответ: $d = 3,0$ см.