Номер 1514, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$L$ - расстояние между источником света и экраном.
$l$ - расстояние между двумя положениями линзы, при которых на экране получается четкое изображение.

Найти:

$F$ - фокусное расстояние линзы.

Решение:

Пусть $d$ — расстояние от источника до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до экрана. Согласно условию, расстояние между источником и экраном постоянно и равно $L$, поэтому выполняется соотношение:

$d + f = L$

Формула тонкой собирающей линзы для действительного изображения имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Выразим $f$ из первого уравнения ($f = L - d$) и подставим в формулу линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{L - d} = \frac{1}{F}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(L - d) + d}{d(L - d)} = \frac{1}{F}$

$\frac{L}{Ld - d^2} = \frac{1}{F}$

Из этого соотношения получаем:

$LF = Ld - d^2$

Перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно переменной $d$:

$d^2 - Ld + LF = 0$

По условию задачи, существует два положения линзы, при которых получается четкое изображение. Это означает, что данное квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые мы обозначим как $d_1$ и $d_2$. Эти корни соответствуют двум возможным расстояниям от источника до линзы.

Расстояние между этими двумя положениями линзы дано и равно $l$. Предположим, что $d_2 > d_1$, тогда:

$l = d_2 - d_1$

Воспользуемся теоремой Виета для корней нашего квадратного уравнения:

Сумма корней: $d_1 + d_2 = L$

Произведение корней: $d_1 d_2 = LF$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для $d_1$ и $d_2$:

$\begin{cases} d_1 + d_2 = L \\ d_2 - d_1 = l \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $d_2$:

$2d_2 = L + l \implies d_2 = \frac{L + l}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d_1$:

$2d_1 = L - l \implies d_1 = \frac{L - l}{2}$

Теперь подставим найденные выражения для $d_1$ и $d_2$ в уравнение для произведения корней ($d_1 d_2 = LF$):

$(\frac{L - l}{2}) \cdot (\frac{L + l}{2}) = LF$

$\frac{(L-l)(L+l)}{4} = LF$

$\frac{L^2 - l^2}{4} = LF$

Так как расстояние $L$ не может быть равно нулю ($L>0$), мы можем разделить обе части уравнения на $L$:

$F = \frac{L^2 - l^2}{4L}$

Это выражение для фокусного расстояния линзы, полученное методом Бесселя.

Ответ: $F = \frac{L^2 - l^2}{4L}$