Номер 1521, страница 279 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 50$ см

$l = 1,0$ м

$k = 9,0$

Перевод в систему СИ:

$d = 0,5$ м

$l = 1,0$ м

Найти:

$F_{max}$

Решение:

Пусть $S_{линзы}$ - площадь сечения линзы, а $S_{круга}$ - площадь светлого круга на экране. По условию задачи, площадь светлого круга в $k$ раз меньше площади сечения линзы, то есть:

$\frac{S_{линзы}}{S_{круга}} = k$

Площади круга выражаются через их радиусы ($R_{линзы}$ и $R_{круга}$): $S = \pi R^2$. Тогда соотношение для радиусов будет:

$\frac{\pi R_{линзы}^2}{\pi R_{круга}^2} = k \implies \frac{R_{линзы}}{R_{круга}} = \sqrt{k}$

Связь между расстоянием от источника до линзы $d$, расстоянием от линзы до изображения $f$ и фокусным расстоянием линзы $F$ описывается формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Рассмотрим ход лучей, проходящих через край линзы. Из подобия треугольников, образованных главной оптической осью, лучами света и плоскостями линзы и экрана, можно получить соотношение:

$\frac{R_{линзы}}{R_{круга}} = \frac{|f|}{|l - f|}$

где $l$ - расстояние от линзы до экрана.

Приравнивая два выражения для отношения радиусов, получаем:

$\sqrt{k} = \frac{|f|}{|l - f|}$

Поскольку $k = 9$, то $\sqrt{k} = 3$. Так как $\sqrt{k} > 1$, радиус линзы больше радиуса светового пятна. Такое возможно только для собирающей линзы, дающей действительное изображение ($F > 0$ и $f > 0$). Для рассеивающей линзы или в случае мнимого изображения световое пятно на экране всегда было бы больше самой линзы. Поэтому $f > 0$.

Уравнение $\sqrt{k} = \frac{f}{|l - f|}$ имеет два решения в зависимости от положения изображения относительно экрана.

Случай 1: Изображение находится за экраном ($f > l$).

Тогда $|l - f| = f - l$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{k} = \frac{f}{f - l}$

$\sqrt{k}(f - l) = f \implies f(\sqrt{k} - 1) = l\sqrt{k}$

$f_1 = \frac{l\sqrt{k}}{\sqrt{k} - 1} = \frac{1,0 \cdot 3}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1,5$ м.

Случай 2: Изображение находится между линзой и экраном ($0 < f < l$).

Тогда $|l - f| = l - f$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{k} = \frac{f}{l - f}$

$\sqrt{k}(l - f) = f \implies f(1 + \sqrt{k}) = l\sqrt{k}$

$f_2 = \frac{l\sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}} = \frac{1,0 \cdot 3}{1 + 3} = \frac{3}{4} = 0,75$ м.

Теперь для каждого значения расстояния до изображения ($f_1$ и $f_2$) найдем соответствующее фокусное расстояние ($F_1$ и $F_2$) с помощью формулы тонкой линзы $F = \frac{df}{d+f}$.

Для $f_1 = 1,5$ м:

$F_1 = \frac{d f_1}{d + f_1} = \frac{0,5 \cdot 1,5}{0,5 + 1,5} = \frac{0,75}{2,0} = 0,375$ м.

Для $f_2 = 0,75$ м:

$F_2 = \frac{d f_2}{d + f_2} = \frac{0,5 \cdot 0,75}{0,5 + 0,75} = \frac{0,375}{1,25} = 0,3$ м.

Мы получили два возможных значения фокусного расстояния: $F_1 = 0,375$ м и $F_2 = 0,3$ м. По условию задачи необходимо найти наибольшее фокусное расстояние $F_{max}$.

Сравнивая полученные значения, находим, что $F_{max} = F_1 = 0,375$ м.

Ответ: $F_{max} = 0,375$ м.