Номер 1516, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 90 \text{ см}$

$k = \frac{\Gamma_1}{\Gamma_2} = 4$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.9 \text{ м}$

Найти:

$F$

Решение:

Пусть $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения (экрана). Расстояние между предметом и экраном $l$ постоянно.

Для любого положения линзы справедливо соотношение: $d + f = l$.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Линейное увеличение линзы: $\Gamma = \frac{f}{d}$.

В задаче рассматриваются два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение.

1. Первое положение (увеличенное изображение):

Расстояние от предмета до линзы — $d_1$, от линзы до экрана — $f_1$.

$d_1 + f_1 = l$

Увеличение $\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1}$. Так как изображение увеличенное, $\Gamma_1 > 1$, следовательно $f_1 > d_1$.

2. Второе положение (уменьшенное изображение):

Расстояние от предмета до линзы — $d_2$, от линзы до экрана — $f_2$.

$d_2 + f_2 = l$

Увеличение $\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2}$. Так как изображение уменьшенное, $\Gamma_2 < 1$, следовательно $f_2 < d_2$.

Существует свойство обратимости световых лучей для двух положений линзы, дающих резкое изображение при фиксированном расстоянии между предметом и экраном. Оно заключается в том, что расстояния "предмет-линза" и "линза-изображение" для одного положения меняются местами для другого положения. То есть, $d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$.

По условию, линейные размеры первого изображения в 4 раза больше размеров второго. Поскольку размер изображения прямо пропорционален увеличению, то $\Gamma_1 = 4\Gamma_2$.

Подставим формулы для увеличений:

$\frac{f_1}{d_1} = 4 \frac{f_2}{d_2}$

Используем свойство обратимости ($d_2 = f_1$, $f_2 = d_1$):

$\frac{f_1}{d_1} = 4 \frac{d_1}{f_1}$

$(\frac{f_1}{d_1})^2 = 4$

$\frac{f_1}{d_1} = 2$ (берем положительный корень, так как $f_1$ и $d_1$ — расстояния)

Отсюда $f_1 = 2d_1$.

Теперь подставим это соотношение в уравнение $d_1 + f_1 = l$:

$d_1 + 2d_1 = l$

$3d_1 = l$

$d_1 = \frac{l}{3} = \frac{90 \text{ см}}{3} = 30 \text{ см}$

Тогда $f_1 = 2d_1 = 2 \cdot 30 \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти фокусное расстояние линзы, используя формулу тонкой линзы для первого положения:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}$

$\frac{1}{F} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

$F = 20 \text{ см}$

Ответ: Фокусное расстояние линзы $F = 20 \text{ см}$.