Номер 1510, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Расстояние от светящейся точки до линзы: $d = F$ (где $F$ - модуль фокусного расстояния)
Диаметр диафрагмы: $D_1$
Расстояние от линзы до экрана: $l = F$

Найти:

Диаметр светлого пятна на экране $D_2$.

Решение:

Сначала определим положение изображения светящейся точки, которое формирует рассеивающая линза. Для этого используем формулу тонкой линзы:$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{л}} $$где $d$ — расстояние от предмета (светящейся точки) до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, а $F_{л}$ — фокусное расстояние линзы.

Согласно условию, светящаяся точка находится в фокусе линзы, следовательно, расстояние до нее $d = F$. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние является отрицательной величиной, поэтому $F_{л} = -F$. Подставим эти значения в формулу тонкой линзы:$$ \frac{1}{F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{-F} $$

Теперь найдем расстояние до изображения $f$:$$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{F} = -\frac{2}{F} $$Отсюда получаем:$$ f = -\frac{F}{2} $$

Отрицательное значение $f$ означает, что изображение является мнимым и находится с той же стороны от линзы, что и сама светящаяся точка, на расстоянии $F/2$ от оптического центра линзы.

После прохождения через линзу лучи света распространяются по прямым, которые являются продолжением лучей, исходящих из этого мнимого изображения. Диафрагма диаметром $D_1$, расположенная вплотную к линзе, ограничивает световой пучок. Границы светлого пятна на экране будут определяться крайними лучами, прошедшими через края диафрагмы.

Для нахождения диаметра пятна $D_2$ воспользуемся методом подобных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника.

Первый (малый) треугольник образуется мнимым изображением, оптическим центром линзы и краем диафрагмы. Его катеты равны расстоянию от мнимого изображения до линзы, то есть $|f| = F/2$, и радиусу диафрагмы $R_1 = D_1/2$.

Второй (большой) треугольник образуется мнимым изображением, точкой пересечения главной оптической оси с экраном и краем светлого пятна на экране. Его катеты равны расстоянию от мнимого изображения до экрана, то есть $|f| + l = F/2 + F = 3F/2$, и радиусу светлого пятна $R_2 = D_2/2$.

Так как эти треугольники подобны, отношение их соответствующих катетов равно:$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{|f| + l}{|f|} $$

Подставим в это соотношение выражения для радиусов и расстояний:$$ \frac{D_2/2}{D_1/2} = \frac{3F/2}{F/2} $$

Упростив выражение, получим:$$ \frac{D_2}{D_1} = 3 $$

Отсюда находим искомый диаметр светлого пятна на экране:$$ D_2 = 3D_1 $$

Ответ: Диаметр светлого пятна на экране равен $D_2 = 3D_1$.