Номер 1508, страница 277 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F$.
Расстояние между точкой мнимого предмета и действительного изображения $a$.
1) $a_1 = 0,9F$
2) $a_2 = 4,5F$

Найти

Расстояние $d$ от линзы до точки A.

Решение

Согласно условию, продолжение падающего на линзу луча пересекает главную оптическую ось в точке А. Это означает, что на линзу падает сходящийся пучок лучей, и точка А является мнимым предметом. Расстояние от линзы до мнимого предмета равно $d$. В соответствии с правилом знаков для линз, расстояние до мнимого предмета, который находится за линзой, считается отрицательным, поэтому в формуле линзы будем использовать $d_o = -d$.

После преломления в линзе луч пересекает главную оптическую ось в точке В. Это означает, что В является действительным изображением мнимого предмета А. Расстояние от линзы до действительного изображения обозначим $f'$. Для действительного изображения, находящегося за линзой, это расстояние положительно: $d_i = f'$.

Фокусное расстояние для рассеивающей линзы является отрицательным: $f = -F$.

Используем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$

Подставив наши обозначения, получим:

$\frac{1}{-d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{-F}$

Точки А и В находятся на главной оптической оси за линзой. Поскольку рассеивающая линза уменьшает сходимость лучей, точка действительного изображения В будет находиться дальше от линзы, чем точка мнимого предмета А. Следовательно, расстояние между ними $a = AB = f' - d$. Отсюда можно выразить расстояние до изображения: $f' = a + d$.

Подставим это выражение в формулу линзы:

$-\frac{1}{d} + \frac{1}{a+d} = -\frac{1}{F}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{-(a+d) + d}{d(a+d)} = -\frac{1}{F}$

$\frac{-a}{d(a+d)} = -\frac{1}{F}$

Умножим обе части на $-d(a+d)F$:

$aF = d(a+d)$

$d^2 + ad - aF = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно искомого расстояния $d$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$d = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(-aF)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4aF}}{2}$

Поскольку $d$ — это расстояние, оно должно быть положительной величиной. Учитывая, что $a > 0$ и $F > 0$, корень $\sqrt{a^2 + 4aF}$ больше, чем $a$. Следовательно, чтобы $d$ было положительным, необходимо выбрать знак "плюс" перед корнем:

$d = \frac{-a + \sqrt{a^2 + 4aF}}{2}$

Теперь применим эту общую формулу для двух заданных случаев.

1) $a_1 = 0,9F$

Подставим значение $a_1 = 0,9F$ в полученное решение:

$d_1 = \frac{-0,9F + \sqrt{(0,9F)^2 + 4(0,9F)F}}{2}$

$d_1 = \frac{-0,9F + \sqrt{0,81F^2 + 3,6F^2}}{2}$

$d_1 = \frac{-0,9F + \sqrt{4,41F^2}}{2}$

Так как $\sqrt{4,41} = 2,1$, получаем:

$d_1 = \frac{-0,9F + 2,1F}{2} = \frac{1,2F}{2} = 0,6F$

Ответ: $d = 0,6F$.

2) $a_2 = 4,5F$

Подставим значение $a_2 = 4,5F$ в общую формулу:

$d_2 = \frac{-4,5F + \sqrt{(4,5F)^2 + 4(4,5F)F}}{2}$

$d_2 = \frac{-4,5F + \sqrt{20,25F^2 + 18F^2}}{2}$

$d_2 = \frac{-4,5F + \sqrt{38,25F^2}}{2}$

$d_2 = \frac{F(-4,5 + \sqrt{38,25})}{2}$

Это точный ответ. Его можно записать в более удобном виде. Заметим, что $4,5 = 9/2$, а $38,25 = 153/4 = 9 \cdot 17 / 4$.

$d_2 = \frac{F(-\frac{9}{2} + \sqrt{\frac{9 \cdot 17}{4}})}{2} = \frac{F(-\frac{9}{2} + \frac{3\sqrt{17}}{2})}{2} = \frac{3F(\sqrt{17}-3)}{4}$

Ответ: $d = \frac{3(\sqrt{17}-3)}{4}F$.