Номер 1512, страница 278 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Расстояние от объектива до бегуна $d = 10$ м

Фокусное расстояние объектива $F = 10$ см

Допустимая размытость изображения $\Delta l = 0.10$ мм

Скорость спортсменов $v = 10$ м/с

Перевод в систему СИ:

$F = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\Delta l = 0.10 \text{ мм} = 0.1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-4} \text{ м}$

Найти:

Время экспозиции $\Delta t$

Решение

Размытость изображения $\Delta l$ возникает из-за того, что за время экспозиции $\Delta t$ изображение спортсмена на фотопленке смещается на некоторое расстояние. Это расстояние равно произведению скорости изображения $v_{из}$ на время экспозиции:

$\Delta l = v_{из} \cdot \Delta t$

Отсюда время экспозиции можно выразить как:

$\Delta t = \frac{\Delta l}{v_{из}}$

Скорость изображения $v_{из}$ связана со скоростью объекта (спортсмена) $v$ через поперечное увеличение линзы $\Gamma$. Поперечное увеличение — это отношение размера изображения к размеру объекта, и оно также равно отношению скорости изображения к скорости объекта:

$\Gamma = \frac{v_{из}}{v}$

Следовательно, $v_{из} = \Gamma \cdot v$.

Поперечное увеличение для тонкой линзы также определяется как отношение расстояния от линзы до изображения $f$ к расстоянию от линзы до объекта $d$:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Расстояние до изображения $f$ можно найти из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Поскольку расстояние до объекта $d = 10$ м значительно больше фокусного расстояния $F = 0.1$ м ($d \gg F$), изображение будет формироваться очень близко к фокальной плоскости, то есть можно считать, что $f \approx F$.

Тогда поперечное увеличение можно оценить как:

$\Gamma \approx \frac{F}{d}$

Теперь мы можем выразить скорость изображения через известные величины:

$v_{из} = \Gamma \cdot v \approx \frac{F}{d} \cdot v$

Подставим это выражение в формулу для времени экспозиции:

$\Delta t \approx \frac{\Delta l}{\frac{F}{d} \cdot v} = \frac{\Delta l \cdot d}{F \cdot v}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta t \approx \frac{10^{-4} \text{ м} \cdot 10 \text{ м}}{0.1 \text{ м} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{10^{-3}}{1} \text{ с} = 10^{-3} \text{ с}$

Таким образом, время экспозиции не должно превышать $10^{-3}$ секунды, или 1 миллисекунду.

Ответ: $\Delta t \approx 10^{-3} \text{ с}$, или 1 мс.