Номер 1517, страница 279 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$k_1$ – начальное увеличение линзы
$k_2$ – конечное увеличение линзы
$l$ – расстояние, на которое приблизили предмет к линзе

Найти:

$F$ – фокусное расстояние линзы

Решение:

Запишем формулу тонкой собирающей линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения, $F$ – фокусное расстояние.

Линейное увеличение линзы $k$ определяется как отношение расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы: $ k = \frac{f}{d} $

Рассмотрим первое положение предмета. Пусть расстояние от предмета до линзы равно $d_1$, а расстояние от линзы до изображения – $f_1$. Увеличение в этом случае равно $k_1$. $ k_1 = \frac{f_1}{d_1} \implies f_1 = k_1 d_1 $

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы: $ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{k_1 d_1} = \frac{1}{F} $

Приведем к общему знаменателю левую часть: $ \frac{k_1 + 1}{k_1 d_1} = \frac{1}{F} $

Выразим отсюда $d_1$: $ d_1 = F \frac{k_1 + 1}{k_1} = F \left(1 + \frac{1}{k_1}\right) $

Теперь рассмотрим второе положение предмета. Предмет приблизили к линзе на расстояние $l$, значит, новое расстояние от предмета до линзы $d_2$ равно: $ d_2 = d_1 - l $

Увеличение в этом положении равно $k_2$. Аналогично первому случаю, запишем формулу тонкой линзы для второго положения: $ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} $ где $f_2 = k_2 d_2$.

Подставляем и выражаем $d_2$: $ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{k_2 d_2} = \frac{1}{F} $ $ \frac{k_2 + 1}{k_2 d_2} = \frac{1}{F} $ $ d_2 = F \frac{k_2 + 1}{k_2} = F \left(1 + \frac{1}{k_2}\right) $

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) $ d_1 = F \left(1 + \frac{1}{k_1}\right) $
2) $ d_2 = F \left(1 + \frac{1}{k_2}\right) $
3) $ d_1 - d_2 = l $

Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$ из уравнений (1) и (2) в уравнение (3): $ F \left(1 + \frac{1}{k_1}\right) - F \left(1 + \frac{1}{k_2}\right) = l $

Вынесем $F$ за скобки: $ F \left(1 + \frac{1}{k_1} - 1 - \frac{1}{k_2}\right) = l $ $ F \left(\frac{1}{k_1} - \frac{1}{k_2}\right) = l $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $ F \left(\frac{k_2 - k_1}{k_1 k_2}\right) = l $

Наконец, выразим фокусное расстояние $F$: $ F = l \frac{k_1 k_2}{k_2 - k_1} $

Ответ: Фокусное расстояние линзы равно $F = l \frac{k_1 k_2}{k_2 - k_1}$.