Номер 1504, страница 277 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы $F = 12,0 \text{ см}$

Расстояние от линзы до ближнего конца предмета $d_1 = 17,9 \text{ см}$

Расстояние от линзы до дальнего конца предмета $d_2 = 18,1 \text{ см}$

$F = 0,120 \text{ м}$
$d_1 = 0,179 \text{ м}$
$d_2 = 0,181 \text{ м}$

Найти:

Продольное увеличение предмета $Г$

Решение:

Поскольку предмет расположен вдоль главной оптической оси, его увеличение является продольным. Продольное увеличение $Г$ определяется как отношение длины изображения $L'$ к длине предмета $L$.

Длина предмета $L$ равна разности расстояний его концов от линзы:

$L = d_2 - d_1$

Длина изображения $L'$ равна модулю разности расстояний $f_1$ и $f_2$ изображений концов предмета от линзы:

$L' = |f_2 - f_1|$

Для нахождения $f_1$ и $f_2$ воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Отсюда расстояние до изображения $f$ можно выразить как:

$f = \frac{d \cdot F}{d - F}$

Найдем положения изображений для каждого конца предмета:

Для ближнего конца ($d_1$): $f_1 = \frac{d_1 \cdot F}{d_1 - F}$

Для дальнего конца ($d_2$): $f_2 = \frac{d_2 \cdot F}{d_2 - F}$

Тогда продольное увеличение $Г$ равно:

$Г = \frac{L'}{L} = \frac{|f_2 - f_1|}{d_2 - d_1} = \left|\frac{\frac{d_2 F}{d_2 - F} - \frac{d_1 F}{d_1 - F}}{d_2 - d_1}\right|$

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю:

$f_2 - f_1 = F \left( \frac{d_2}{d_2 - F} - \frac{d_1}{d_1 - F} \right) = F \frac{d_2(d_1 - F) - d_1(d_2 - F)}{(d_2 - F)(d_1 - F)}$

$f_2 - f_1 = F \frac{d_1 d_2 - d_2 F - d_1 d_2 + d_1 F}{(d_2 - F)(d_1 - F)} = F \frac{F(d_1 - d_2)}{(d_1 - F)(d_2 - F)} = -\frac{F^2(d_2 - d_1)}{(d_1 - F)(d_2 - F)}$

Подставим это выражение в формулу для увеличения:

$Г = \left|\frac{-\frac{F^2(d_2 - d_1)}{(d_1 - F)(d_2 - F)}}{d_2 - d_1}\right| = \frac{F^2}{(d_1 - F)(d_2 - F)}$

Теперь подставим числовые значения (можно использовать сантиметры, так как единицы измерения сократятся):

$Г = \frac{(12,0)^2}{(17,9 - 12,0)(18,1 - 12,0)} = \frac{144}{5,9 \cdot 6,1} = \frac{144}{35,99} \approx 4,0011$

Округляя до трех значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$Г \approx 4,00$

Ответ: увеличение предмета составляет $Г \approx 4,00$.