Номер 681, страница 126 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 2,0 \text{ см}$

Жидкость - вода

Смачивание полное, т.е. краевой угол $\theta = 0^\circ$

Справочные данные:

Плотность воды: $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Коэффициент поверхностного натяжения воды: $\sigma \approx 0,073 \text{ Н/м}$

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Ускорение свободного падения на Луне: $g_Л \approx g_З/6 \approx 1,63 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$h = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

а) $d_З$ - диаметр капилляра на Земле

б) $d_Л$ - диаметр капилляра на Луне

Решение:

Высота подъема жидкости в капилляре определяется силой поверхностного натяжения, которая уравновешивает вес столба жидкости. Формула для высоты подъема (формула Жюрена):

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, $\theta$ – краевой угол смачивания, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $r$ – радиус капилляра.

По условию задачи, смачивание полное, следовательно, краевой угол $\theta = 0^\circ$, и $\cos\theta = 1$.

Радиус капилляра связан с его внутренним диаметром $d$ соотношением $r = d/2$. Подставим эти условия в формулу:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g (d/2)} = \frac{4\sigma}{\rho g d}$

Выразим из этой формулы искомый диаметр капилляра $d$:

$d = \frac{4\sigma}{\rho g h}$

а) на Земле;

Рассчитаем диаметр капилляра для условий на Земле, используя ускорение свободного падения $g = g_З$:

$d_З = \frac{4\sigma}{\rho g_З h}$

Подставим числовые значения:

$d_З = \frac{4 \cdot 0,073 \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,02 \text{ м}} = \frac{0,292}{196} \approx 0,00149 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры и округлим до двух значащих цифр:

$d_З \approx 0,00149 \text{ м} = 1,49 \text{ мм} \approx 1,5 \text{ мм}$

Ответ: внутренний диаметр капилляра на Земле должен быть примерно $1,5 \text{ мм}$.

б) на Луне.

Рассчитаем диаметр капилляра для условий на Луне, используя ускорение свободного падения $g = g_Л$.

$d_Л = \frac{4\sigma}{\rho g_Л h}$

Так как ускорение свободного падения на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле ($g_Л \approx g_З / 6$), то для подъема воды на ту же высоту $h$ потребуется капилляр с диаметром в 6 раз большим:

$d_Л = \frac{4\sigma}{\rho (g_З/6) h} = 6 \cdot \frac{4\sigma}{\rho g_З h} = 6 \cdot d_З$

Подставим значение $d_З$, найденное в пункте а):

$d_Л \approx 6 \cdot 1,49 \text{ мм} \approx 8,94 \text{ мм}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$d_Л \approx 8,9 \text{ мм}$

Ответ: внутренний диаметр капилляра на Луне должен быть примерно $8,9 \text{ мм}$.