Номер 684, страница 127 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота капиллярного поднятия жидкости $h = 80$ нм.

$h = 80 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Высоту столбика жидкости $H$.

Решение:

Высота $h$, на которую жидкость поднимается в капиллярной трубке при опускании ее в широкий сосуд, определяется условием равновесия силы поверхностного натяжения, действующей на жидкость со стороны стенки трубки по периметру смачивания, и силы тяжести столба жидкости.

Вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения, которая тянет столб жидкости вверх, равна:

$F_{\sigma} = 2 \pi r \sigma \cos\theta$

где $r$ — радиус капилляра, $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а $\theta$ — краевой угол смачивания.

Сила тяжести, действующая на столб жидкости высотой $h$:

$F_{g} = mg = \rho V g = \rho (\pi r^2 h) g$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения.

В равновесии $F_{\sigma} = F_{g}$, поэтому:

$2 \pi r \sigma \cos\theta = \rho \pi r^2 h g$

Отсюда высота капиллярного поднятия равна:

$h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$

Когда капилляр полностью заполнен жидкостью и повернут вертикально, столбик жидкости высотой $H$ удерживается от вытекания силами поверхностного натяжения, действующими на двух менисках: на верхнем и на нижнем концах столбика. Поскольку жидкость смачивает стенки трубки (иначе она бы не поднималась, а опускалась), оба мениска будут вогнутыми. Сила поверхностного натяжения на каждом из менисков будет создавать вертикальную составляющую, направленную вверх (внутрь столба жидкости).

Суммарная удерживающая сила от двух менисков будет вдвое больше, чем в первом случае:

$F_{\sigma, общ} = F_{\sigma, верх} + F_{\sigma, низ} = 2 \pi r \sigma \cos\theta + 2 \pi r \sigma \cos\theta = 4 \pi r \sigma \cos\theta$

Эта сила уравновешивает силу тяжести столбика жидкости высотой $H$:

$F_{g, H} = \rho (\pi r^2 H) g$

Приравнивая силы для случая удержания столбика:

$4 \pi r \sigma \cos\theta = \rho \pi r^2 H g$

Отсюда максимальная высота удерживаемого столбика:

$H = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$

Сравнивая выражения для $H$ и $h$, мы видим, что:

$H = 2 \times \left( \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r} \right) = 2h$

Подставляя известное значение $h$:

$H = 2 \times 80 \text{ нм} = 160 \text{ нм}$

Ответ: 160 нм.