Номер 689, страница 127 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр первого капилляра, $d_1 = 1,0 \text{ мм}$

Диаметр второго капилляра, $d_2 = 2,0 \text{ мм}$

Жидкость - ртуть

Условие - полное несмачивание

Плотность ртути, $\rho \approx 13600 \frac{кг}{м^3}$

Коэффициент поверхностного натяжения ртути, $\sigma \approx 0,465 \frac{Н}{м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

Перевод в СИ:

$d_1 = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$d_2 = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Разность уровней ртути в капиллярах, $\Delta h$

Решение:

Высота поднятия (или опускания) жидкости в капилляре определяется формулой Жюрена:

$h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $h$ – высота изменения уровня, $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, $\theta$ – краевой угол смачивания, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $r$ – радиус капилляра ($r=d/2$).

Для ртути характерно несмачивание, а по условию оно полное, следовательно, краевой угол $\theta = 180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$. Формула для высоты уровня ртути в капилляре принимает вид:

$h = \frac{2 \sigma (-1)}{\rho g (d/2)} = -\frac{4 \sigma}{\rho g d}$

Знак "минус" указывает на опускание уровня жидкости (капиллярную депрессию). Величина опускания (модуль высоты) для каждого из капилляров равна:

$|h_1| = \frac{4 \sigma}{\rho g d_1}$

$|h_2| = \frac{4 \sigma}{\rho g d_2}$

Искомая разность уровней ртути в двух капиллярах будет равна разности величин опускания. Так как $d_1 < d_2$, то $|h_1| > |h_2|$.

$\Delta h = |h_1| - |h_2| = \frac{4 \sigma}{\rho g d_1} - \frac{4 \sigma}{\rho g d_2} = \frac{4 \sigma}{\rho g} \left(\frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2}\right)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta h = \frac{4 \cdot 0,465 \frac{Н}{м}}{13600 \frac{кг}{м^3} \cdot 9,8 \frac{м}{с^2}} \left(\frac{1}{1,0 \cdot 10^{-3} м} - \frac{1}{2,0 \cdot 10^{-3} м}\right)$

$\Delta h \approx \frac{1,86}{133280} \left(1000 - 500\right) \approx 1,3955 \cdot 10^{-5} \cdot 500 \approx 0,00698 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$0,00698 \text{ м} = 6,98 \text{ мм}$

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $7,0 \text{ мм}$.