Номер 694, страница 128 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 1,0 \text{ г}$

$n = 10$

Для решения задачи понадобятся справочные данные: плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ и коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma \approx 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}$.

$m = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$\Delta E_{пов}$

Решение:

Изменение энергии поверхностного слоя $\Delta E_{пов}$ пропорционально изменению площади поверхности жидкости $\Delta S$. Связь между ними выражается формулой:

$\Delta E_{пов} = \sigma \cdot \Delta S = \sigma \cdot (S_2 - S_1)$

Здесь $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, $S_1$ — начальная площадь поверхности (одна большая капля), а $S_2$ — конечная суммарная площадь поверхности ($n$ мелких капель).

Примем, что капли имеют сферическую форму. Площадь поверхности сферы вычисляется как $S = 4\pi R^2$, а её объём — $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Масса капли связана с её объёмом и плотностью соотношением $m = \rho V$.

1. Начальное состояние (одна большая капля).

Пусть радиус исходной капли равен $R$. Её объём $V_1 = \frac{m}{\rho}$.

Выразим радиус $R$ через массу и плотность:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{m}{\rho} \implies R = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}$

Тогда начальная площадь поверхности равна:

$S_1 = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{2/3}$

2. Конечное состояние ($n$ мелких капель).

Общая масса сохраняется, поэтому масса каждой из $n$ мелких капель равна $m' = \frac{m}{n}$. Пусть радиус мелкой капли равен $r$.

Аналогично найдём радиус $r$ мелкой капли:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{m'}{\rho} = \frac{m}{n\rho} \implies r = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi n\rho}}$

Суммарная площадь поверхности всех $n$ мелких капель:

$S_2 = n \cdot (4\pi r^2) = n \cdot 4\pi \left(\frac{3m}{4\pi n\rho}\right)^{2/3} = n \cdot 4\pi \frac{1}{n^{2/3}} \left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{2/3} = n^{1/3} \cdot \left(4\pi \left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{2/3}\right) = n^{1/3} S_1$

3. Вычисление изменения энергии.

Изменение площади поверхности составляет:

$\Delta S = S_2 - S_1 = n^{1/3} S_1 - S_1 = S_1(n^{1/3} - 1)$

Следовательно, изменение поверхностной энергии равно:

$\Delta E_{пов} = \sigma S_1 (n^{1/3} - 1)$

Выполним вычисления. Сначала найдём радиус $R$ и площадь $S_1$ начальной капли:

$R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4\pi \cdot 1000 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt[3]{2,39 \cdot 10^{-7} \text{ м}^3} \approx 6,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$S_1 = 4\pi R^2 \approx 4\pi (6,20 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \approx 4,83 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Теперь подставим числовые значения в формулу для $\Delta E_{пов}$:

$\Delta E_{пов} \approx 7,3 \cdot 10^{-2} \frac{\text{Дж}}{\text{м}^2} \cdot 4,83 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (\sqrt[3]{10} - 1)$

$\Delta E_{пов} \approx 3,53 \cdot 10^{-5} \cdot (2,154 - 1) \text{ Дж}$

$\Delta E_{пов} \approx 3,53 \cdot 10^{-5} \cdot 1,154 \text{ Дж} \approx 4,07 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Учитывая, что масса дана с точностью до двух значащих цифр, округлим результат.

$\Delta E_{пов} \approx 4,1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: $\Delta E_{пов} \approx 4,1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$.