Номер 695, страница 128 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 4,0 \text{ мм}$
$E_{пов} = 14 \text{ мДж}$

$d = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$E_{пов} = 14 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$r$

Решение:

Примем коэффициент поверхностного натяжения воды равным $\sigma \approx 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}$.

При слиянии мелких капель в одну большую происходит уменьшение общей площади поверхности жидкости. Силы поверхностного натяжения совершают работу, которая выделяется в виде энергии. Эта энергия $E_{пов}$ равна изменению (уменьшению) поверхностной энергии системы.

$E_{пов} = \Delta E_{п} = E_{п1} - E_{п2}$

где $E_{п1}$ — суммарная поверхностная энергия всех мелких капель до слияния, а $E_{п2}$ — поверхностная энергия большой капли после слияния.

Поверхностная энергия капли определяется формулой $E_{п} = \sigma S$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $S$ — площадь поверхности. Для сферической капли радиусом $x$ площадь поверхности равна $S = 4\pi x^2$.

Пусть было $N$ одинаковых мелких капель радиусом $r$. Их суммарная поверхностная энергия:

$E_{п1} = N \cdot \sigma S_{малой} = N \sigma (4\pi r^2)$

После слияния образовалась одна большая капля радиусом $R = d/2$. Её поверхностная энергия:

$E_{п2} = \sigma S_{большой} = \sigma (4\pi R^2)$

Тогда выделившаяся энергия:

$E_{пов} = N \sigma (4\pi r^2) - \sigma (4\pi R^2) = 4\pi\sigma(Nr^2 - R^2)$

Поскольку масса (и объем, т.к. вода несжимаема) жидкости сохраняется, общий объем мелких капель равен объему большой капли. Объем сферы радиусом $x$ равен $V = \frac{4}{3}\pi x^3$.

$N \cdot V_{малой} = V_{большой}$

$N \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$

Из этого соотношения можно выразить число мелких капель $N$:

$N = \frac{R^3}{r^3}$

Подставим это выражение для $N$ в формулу для выделившейся энергии:

$E_{пов} = 4\pi\sigma \left(\frac{R^3}{r^3} \cdot r^2 - R^2\right) = 4\pi\sigma \left(\frac{R^3}{r} - R^2\right)$

Вынесем $R^2$ за скобки для удобства:

$E_{пов} = 4\pi\sigma R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$

Теперь выразим из этой формулы искомый радиус $r$ малой капли.

$\frac{E_{пов}}{4\pi\sigma R^2} = \frac{R}{r} - 1$

$\frac{R}{r} = 1 + \frac{E_{пов}}{4\pi\sigma R^2}$

$r = \frac{R}{1 + \frac{E_{пов}}{4\pi\sigma R^2}}$

Рассчитаем радиус большой капли:

$R = \frac{d}{2} = \frac{4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Подставим все известные числовые значения в итоговую формулу:

$r = \frac{2,0 \cdot 10^{-3}}{1 + \frac{14 \cdot 10^{-3}}{4\pi \cdot (7,3 \cdot 10^{-2}) \cdot (2,0 \cdot 10^{-3})^2}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-3}}{1 + \frac{14 \cdot 10^{-3}}{4\pi \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \cdot 4,0 \cdot 10^{-6}}}$

$r = \frac{2,0 \cdot 10^{-3}}{1 + \frac{14 \cdot 10^{-3}}{3,67 \cdot 10^{-6}}} \approx \frac{2,0 \cdot 10^{-3}}{1 + 3815} = \frac{2,0 \cdot 10^{-3}}{3816}$

$r \approx 5,24 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Ответ: $r \approx 5,24 \cdot 10^{-7} \text{ м}$ (или 0,524 мкм).