Номер 697, страница 128 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество сливающихся капель: $N = 2$

Диаметр каждой исходной капли: $d = 1,0 \text{ мм}$

Вещество: ртуть

Коэффициент поверхностного натяжения ртути: $\sigma \approx 0,465 \text{ Н/м}$

Плотность ртути: $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$

Удельная теплоемкость ртути: $c \approx 140 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$

Перевод в систему СИ:

$d = 1,0 \text{ мм} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Изменение температуры капли: $\Delta t$

Решение:

При слиянии двух капель в одну их общая площадь поверхности уменьшается. Энергия, выделившаяся из-за работы сил поверхностного натяжения, переходит во внутреннюю энергию образовавшейся капли, что приводит к ее нагреванию.

1. Определим начальные параметры. Радиус каждой из двух исходных капель $r = d/2$.

Суммарная площадь поверхности двух капель до слияния:

$S_{нач} = 2 \cdot (4\pi r^2) = 8\pi r^2 = 2\pi d^2$

Суммарный объем двух капель:

$V_{нач} = 2 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi d^3$

2. Определим параметры конечной капли. Пусть ее радиус равен $R$.

Поскольку ртуть практически несжимаема, объем конечной капли равен суммарному объему начальных капель:

$V_{кон} = V_{нач}$

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$

$R^3 = 2r^3 \implies R = r\sqrt[3]{2}$

Площадь поверхности конечной капли:

$S_{кон} = 4\pi R^2 = 4\pi (r\sqrt[3]{2})^2 = 4\pi r^2 \cdot 2^{2/3} = (4\pi r^2) \cdot 2^{2/3}$

Так как $4\pi r^2 = \pi d^2$, то $S_{кон} = \pi d^2 \cdot 2^{2/3}$.

3. Изменение площади поверхности при слиянии:

$\Delta S = S_{нач} - S_{кон} = 2\pi d^2 - \pi d^2 \cdot 2^{2/3} = \pi d^2 (2 - 2^{2/3})$

4. Энергия, выделившаяся в процессе слияния, равна:

$Q = \sigma \Delta S = \sigma \pi d^2 (2 - 2^{2/3})$

5. Эта энергия $Q$ идет на нагрев образовавшейся капли. Количество теплоты, необходимое для нагрева:

$Q = mc\Delta t$

где $m$ - масса конечной капли, $c$ - удельная теплоемкость ртути, а $\Delta t$ - искомое изменение температуры.

Масса конечной капли $m = \rho V_{кон} = \rho V_{нач} = \rho \frac{1}{3}\pi d^3$.

6. Приравняем два выражения для $Q$ и выразим $\Delta t$:

$\sigma \pi d^2 (2 - 2^{2/3}) = (\rho \frac{1}{3}\pi d^3) c \Delta t$

Сокращая общие множители ($\pi$ и $d^2$), получаем:

$\sigma (2 - 2^{2/3}) = \frac{1}{3} \rho d c \Delta t$

Отсюда находим изменение температуры:

$\Delta t = \frac{3\sigma(2 - 2^{2/3})}{\rho c d}$

7. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$2 - 2^{2/3} = 2 - \sqrt[3]{4} \approx 2 - 1,5874 = 0,4126$

$\Delta t = \frac{3 \cdot 0,465 \text{ Н/м} \cdot 0,4126}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 140 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)} \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}$

$\Delta t = \frac{0,5755}{1904} \approx 0,000302 \text{ К}$

Ответ: изменение температуры капли ртути составит примерно $3,0 \cdot 10^{-4} \text{ К}$.