Номер 690, страница 127 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Разность уровней воды: $\Delta h_1 = 2,6 \text{ см}$

Разность уровней спирта: $\Delta h_2 = 1,0 \text{ см}$

Поверхностное натяжение воды: $\sigma_1 = 73 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$

Плотность спирта: $\rho_2 = 0,79 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Плотность воды (справочное значение): $\rho_1 = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta h_1 = 0,026 \text{ м}$

$\Delta h_2 = 0,010 \text{ м}$

$\sigma_1 = 73 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$\rho_2 = 790 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Поверхностное натяжение спирта $\sigma_2$.

Решение:

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $\sigma$ – поверхностное натяжение жидкости, $\theta$ – краевой угол смачивания, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $r$ – радиус капилляра. Будем считать, что и вода, и спирт полностью смачивают стенки трубок, поэтому краевой угол $\theta \approx 0$ и $\cos\theta \approx 1$. Тогда формула упрощается:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$

Пусть радиусы двух капиллярных трубок равны $r_a$ и $r_b$. Тогда разность уровней воды в этих трубках будет:

$\Delta h_1 = h_{1a} - h_{1b} = \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g r_a} - \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g r_b} = \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)$

Аналогично, разность уровней спирта в тех же трубках:

$\Delta h_2 = h_{2a} - h_{2b} = \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g r_a} - \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g r_b} = \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)$

Мы получили систему из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\Delta h_2}{\Delta h_1} = \frac{\frac{2\sigma_2}{\rho_2 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)}{\frac{2\sigma_1}{\rho_1 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)}$

Сократив одинаковые множители ($2, g$ и выражение в скобках), получим:

$\frac{\Delta h_2}{\Delta h_1} = \frac{\sigma_2 / \rho_2}{\sigma_1 / \rho_1} = \frac{\sigma_2 \rho_1}{\sigma_1 \rho_2}$

Выразим из этого соотношения искомое поверхностное натяжение спирта $\sigma_2$:

$\sigma_2 = \sigma_1 \frac{\Delta h_2 \rho_2}{\Delta h_1 \rho_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\sigma_2 = 73 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot \frac{0,010 \text{ м} \cdot 790 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{0,026 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 73 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{790}{2600} \approx 22,17 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

С учетом точности исходных данных ($1,0 \text{ см}$, $2,6 \text{ см}$, $0,79 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$), округлим результат до двух значащих цифр.

$\sigma_2 \approx 22 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 22 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$

Ответ: поверхностное натяжение спирта $\sigma_2 \approx 22 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$.