Номер 691, страница 127 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Задача состоит из двух частей. Решим их последовательно.

Каким должен быть диаметр d перекладины KL, чтобы она находилась в равновесии?

Дано:

Плотность меди $ρ = 8900$ кг/м³ (табличное значение)

Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $σ ≈ 0.04$ Н/м (табличное значение)

Ускорение свободного падения $g ≈ 9.8$ м/с²

Найти:

$d$ - ?

Решение:

Условие равновесия перекладины заключается в том, что сила тяжести $F_т$, действующая на нее вниз, уравновешивается силой поверхностного натяжения $F_н$, действующей вверх:

$F_т = F_н$

Сила тяжести определяется по формуле $F_т = mg$. Массу $m$ перекладины выразим через ее плотность $ρ$ и объем $V$: $m = ρV$. Перекладина представляет собой цилиндр длиной $l$ и диаметром $d$, поэтому ее объем $V = S \cdot l = \frac{πd^2}{4}l$.

Таким образом, формула для силы тяжести:

$F_т = ρ \frac{πd^2}{4}lg$

Мыльная пленка имеет две поверхности (верхнюю и нижнюю), поэтому суммарная сила поверхностного натяжения, действующая на перекладину длиной $l$, равна:

$F_н = 2σl$

Приравняем выражения для сил:

$ρ \frac{πd^2}{4}lg = 2σl$

Длина перекладины $l$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить:

$ρ \frac{πd^2}{4}g = 2σ$

Выразим из этого уравнения квадрат диаметра $d^2$:

$d^2 = \frac{8σ}{ρπg}$

Тогда искомый диаметр $d$ равен:

$d = \sqrt{\frac{8σ}{ρπg}}$

Подставим числовые значения:

$d = \sqrt{\frac{8 \cdot 0.04 \text{ Н/м}}{8900 \text{ кг/м³} \cdot 3.14 \cdot 9.8 \text{ м/с²}}} = \sqrt{\frac{0.32}{273933.2}} \approx \sqrt{1.168 \cdot 10^{-6}} \approx 1.08 \cdot 10^{-3}$ м.

Переводя в миллиметры, получаем $d ≈ 1.08$ мм.

Ответ: чтобы перекладина находилась в равновесии, ее диаметр должен быть равен примерно $1.08$ мм.

Определите длину l перекладины, если известно, что при ее перемещении на расстояние Δl = 10 мм сила поверхностного натяжения совершает работу A = 45 мкДж.

Дано:

Расстояние перемещения $Δx = 10$ мм

Работа $A = 45$ мкДж

Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $σ ≈ 0.04$ Н/м

$Δx = 10 \text{ мм} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$
$A = 45 \text{ мкДж} = 45 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Найти:

$l$ - ?

Решение:

Работа, совершаемая силой поверхностного натяжения, может быть найдена по формуле $A = F_н \cdot Δx$, где $F_н$ - сила поверхностного натяжения, а $Δx$ - расстояние, на которое переместилась перекладина. (В условии это расстояние обозначено как $Δl$, но чтобы избежать путаницы с длиной перекладины $l$, мы используем обозначение $Δx$).

Сила поверхностного натяжения $F_н$ для мыльной пленки с двумя поверхностями равна:

$F_н = 2σl$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = (2σl) \cdot Δx$

Из этой формулы выразим длину перекладины $l$:

$l = \frac{A}{2σΔx}$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$l = \frac{45 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{2 \cdot 0.04 \text{ Н/м} \cdot 0.01 \text{ м}} = \frac{45 \cdot 10^{-6}}{0.0008} = \frac{45 \cdot 10^{-6}}{8 \cdot 10^{-4}} = 5.625 \cdot 10^{-2}$ м.

Переведем результат в сантиметры: $l = 5.625$ см.

Ответ: длина перекладины $l$ равна $5.625$ см.