Номер 788, страница 141 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - идеальный одноатомный

Количество вещества: $v = 1.0$ моль

Начальная температура: $t_1 = 27$ °C

Параметры состояний (из графика):

Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = 3V_0$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

Температура в состоянии 1: $T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Количество теплоты $Q$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$:

$Q = \Delta U + A$

Найдем изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального одноатомного газа. Внутренняя энергия такого газа определяется формулой $U = \frac{3}{2}v RT$. Тогда изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}v R T_2 - \frac{3}{2}v R T_1 = \frac{3}{2}v R (T_2 - T_1)$

Чтобы найти температуру $T_2$, воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = v RT$ для состояний 1 и 2:

Для состояния 1: $p_1V_1 = v RT_1 \implies p_0V_0 = v RT_1$

Для состояния 2: $p_2V_2 = v RT_2 \implies (2p_0)(3V_0) = v RT_2 \implies 6p_0V_0 = v RT_2$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{6p_0V_0}{p_0V_0} = \frac{v RT_2}{v RT_1} \implies 6 = \frac{T_2}{T_1} \implies T_2 = 6T_1$

Теперь можем найти изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2}v R (6T_1 - T_1) = \frac{3}{2}v R (5T_1) = \frac{15}{2}v R T_1$

Далее найдем работу $A$, совершенную газом. В координатах $p-V$ работа численно равна площади фигуры под графиком процесса. В данном случае фигура является трапецией. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$A = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1)$

Подставим значения из графика:

$A = \frac{p_0 + 2p_0}{2}(3V_0 - V_0) = \frac{3p_0}{2}(2V_0) = 3p_0V_0$

Из уравнения состояния для точки 1 мы знаем, что $p_0V_0 = v RT_1$. Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = 3v RT_1$

Теперь мы можем найти общее количество теплоты $Q$:

$Q = \Delta U + A = \frac{15}{2}v R T_1 + 3v R T_1 = (\frac{15}{2} + \frac{6}{2})v R T_1 = \frac{21}{2}v R T_1$

Подставим числовые значения:

$Q = \frac{21}{2} \cdot 1.0 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 10.5 \cdot 8.31 \cdot 300 \text{ Дж} \approx 26176.5 \text{ Дж}$

Округлим результат и выразим его в килоджоулях:

$Q \approx 26.2$ кДж

Ответ: $Q \approx 26.2$ кДж.